338
E p = Vect(B p ). Il est clair que A p est la matrice dans B p de
la fq φ p restriction de φ à E p ; comme φ est positive, φ p l'est
aussi, donc A p ∈ S +
p , d'où (cf. ex. 4.5.25) :
det (A p ) 0.
β) Examiner l'exemple : n = 2, A =
0 0
0 −1
.
Réponse : non.
b) α) 1) En raisonnant comme en a) α), on montre :
A ∈ S
++
n ⇒
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det(A p ) > 0
.
2) Réciproquement, supposons :
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det(A p ) > 0.
Nous allons montrer (∀ p ∈ {1,. . . ,n}, A p ∈ S ++
p ) par récurrence (bornée) sur p.
Il est clair que A 1 = (a 11 ) ∈ S
++
1 .
Supposons A p ∈ S ++
p .
Décomposons A p+1 en blocs :
A p+1 =
A p
C p
t C p a p+1 p+1
, où C p ∈ M p,1 (R).
Il existe M ∈ GL p (R) telle que : A p = t M M (on peut même
choisir M dans S ++
p ; cf. ex. 4.5.26).
Soient α ∈ R , C ∈ M p,1 (R) (à choisir ultérieurement),
N =
M C
0 α
.
On a : A p+1 = t N N⇐⇒
C p = t MC
a p+1 p+1 = t CC + α 2
.
Choisissons C = t M −1 C p ; pour montrer l'existence de α , il
suffit maintenant de prouver :
a p+1 p+1 − t CC 0.
Mais :
A p
C p
t C p a p+1 p+1
A −1
p
−A −1
p C p
0
1
=
I p
0
t C p A −1
p
a p+1 p+1 − t C p A −1
p C p
,
d'où en passant aux déterminants :
a p+1 p+1 − t CC = a p+1 p+1 − t C p A
−1
p C p
=
det (A p+1 )
det (A p )
> 0.
Ainsi, il existe (α,C) convenant.
Il est clair qu'alors
N ∈ GL p+1 (R) et A p+1 = t N N ∈ S
++
p+1
.
β) L'application f : S n (R) −→ R n
A −→(det (A 1 ),...,det (A n ))
est continue,
(R ∗
+ ) n est un ouvert de R n , et, d'après b) α) :
S
++
n = {A ∈ S n (R); ∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det (A p ) > 0}
= f
−1
R
∗
+
n .
On conclut que S ++
n est un ouvert de S n (R) .
Notons D = diag (d 1 ,. . . ,d n ) et r = rg (D).
Il existe σ ∈ S n telle que :
∀ i ∈ {1,. . . ,r},
d σ (i) = 0
∀ i ∈ {r + 1,. . . ,n}, d σ (i) = 0.
Notons P la matrice de permutation définie par :
P =
δ σ (i), j
1 i, j n , où δ est le symbole de Kronecker.
Il est clair que P est orthogonale et :
P D P −1 = diag
(d σ (i) ) 1 i n
.
En notant D = P D P −1 et A = P AP −1 , on a alors :
t A A = D 2 ⇐⇒ t A A = D 2 .
Puis, pour toute Ω de O n (R) :
A = Ω D ⇐⇒ A = P −1 Ω P D,
et P −1 Ω P ∈ O n (R) .
Ceci montre qu'on peut se ramener au cas d 1 ,. . . ,d r tous = 0
et d r+1 ,. . . ,d n tous nuls, ce que nous supposons maintenant.
Notons A 1 ,. . . ,A n les colonnes de A. Puisque t A A = D 2 ,
on a :
∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 ,
i = j ⇒ t A i A j = 0
i = j r ⇒ t A i A i = d 2
i > 0
i = j r + 1 ⇒ t A i A i = 0
.
On a donc : ∀ i ∈ {r + 1,. . . ,n}, A i = 0 (cf. ex. 4.2.3
p. 141).
Notons, pour i ∈ {1,. . . ,r}, A
i =
1
d i
A i . Ainsi, (A
1 ,. . . ,A
r )
est une famille orthonormale (pour le produit scalaire canonique
sur M n,1 (R)) . On peut la compléter en une b.o.n.
(A
1 ,. . . ,A
r ,A
r+1
,. . . ,A
n ) de M n,1 (R) . Notons Ω la matrice
dont les colonnes sont A
1 ,. . . ,A
n ; il est clair que : Ω ∈ O n (R).
De plus :
Ω D = ( A
1 . . . A
r A
r +1 . . . A
n )
d 1 . . .
0
d r
0
0
. . .
0
= (A 1 . . . A r 0 . . . 0) = A.
1) E est fermé
Soient (S k ) k∈N une suite dans E et S ∈ M n (R) tels que :
S k −→
k∞
S.
4.5.50
4.5.51
E p = Vect(B p ). Il est clair que A p est la matrice dans B p de
la fq φ p restriction de φ à E p ; comme φ est positive, φ p l'est
aussi, donc A p ∈ S +
p , d'où (cf. ex. 4.5.25) :
det (A p ) 0.
β) Examiner l'exemple : n = 2, A =
0 0
0 −1
.
Réponse : non.
b) α) 1) En raisonnant comme en a) α), on montre :
A ∈ S
++
n ⇒
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det(A p ) > 0
.
2) Réciproquement, supposons :
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det(A p ) > 0.
Nous allons montrer (∀ p ∈ {1,. . . ,n}, A p ∈ S ++
p ) par récurrence (bornée) sur p.
Il est clair que A 1 = (a 11 ) ∈ S
++
1 .
Supposons A p ∈ S ++
p .
Décomposons A p+1 en blocs :
A p+1 =
A p
C p
t C p a p+1 p+1
, où C p ∈ M p,1 (R).
Il existe M ∈ GL p (R) telle que : A p = t M M (on peut même
choisir M dans S ++
p ; cf. ex. 4.5.26).
Soient α ∈ R , C ∈ M p,1 (R) (à choisir ultérieurement),
N =
M C
0 α
.
On a : A p+1 = t N N⇐⇒
C p = t MC
a p+1 p+1 = t CC + α 2
.
Choisissons C = t M −1 C p ; pour montrer l'existence de α , il
suffit maintenant de prouver :
a p+1 p+1 − t CC 0.
Mais :
A p
C p
t C p a p+1 p+1
A −1
p
−A −1
p C p
0
1
=
I p
0
t C p A −1
p
a p+1 p+1 − t C p A −1
p C p
,
d'où en passant aux déterminants :
a p+1 p+1 − t CC = a p+1 p+1 − t C p A
−1
p C p
=
det (A p+1 )
det (A p )
> 0.
Ainsi, il existe (α,C) convenant.
Il est clair qu'alors
N ∈ GL p+1 (R) et A p+1 = t N N ∈ S
++
p+1
.
β) L'application f : S n (R) −→ R n
A −→(det (A 1 ),...,det (A n ))
est continue,
(R ∗
+ ) n est un ouvert de R n , et, d'après b) α) :
S
++
n = {A ∈ S n (R); ∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det (A p ) > 0}
= f
−1
R
∗
+
n .
On conclut que S ++
n est un ouvert de S n (R) .
Notons D = diag (d 1 ,. . . ,d n ) et r = rg (D).
Il existe σ ∈ S n telle que :
∀ i ∈ {1,. . . ,r},
d σ (i) = 0
∀ i ∈ {r + 1,. . . ,n}, d σ (i) = 0.
Notons P la matrice de permutation définie par :
P =
δ σ (i), j
1 i, j n , où δ est le symbole de Kronecker.
Il est clair que P est orthogonale et :
P D P −1 = diag
(d σ (i) ) 1 i n
.
En notant D = P D P −1 et A = P AP −1 , on a alors :
t A A = D 2 ⇐⇒ t A A = D 2 .
Puis, pour toute Ω de O n (R) :
A = Ω D ⇐⇒ A = P −1 Ω P D,
et P −1 Ω P ∈ O n (R) .
Ceci montre qu'on peut se ramener au cas d 1 ,. . . ,d r tous = 0
et d r+1 ,. . . ,d n tous nuls, ce que nous supposons maintenant.
Notons A 1 ,. . . ,A n les colonnes de A. Puisque t A A = D 2 ,
on a :
∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 ,
i = j ⇒ t A i A j = 0
i = j r ⇒ t A i A i = d 2
i > 0
i = j r + 1 ⇒ t A i A i = 0
.
On a donc : ∀ i ∈ {r + 1,. . . ,n}, A i = 0 (cf. ex. 4.2.3
p. 141).
Notons, pour i ∈ {1,. . . ,r}, A
i =
1
d i
A i . Ainsi, (A
1 ,. . . ,A
r )
est une famille orthonormale (pour le produit scalaire canonique
sur M n,1 (R)) . On peut la compléter en une b.o.n.
(A
1 ,. . . ,A
r ,A
r+1
,. . . ,A
n ) de M n,1 (R) . Notons Ω la matrice
dont les colonnes sont A
1 ,. . . ,A
n ; il est clair que : Ω ∈ O n (R).
De plus :
Ω D = ( A
1 . . . A
r A
r +1 . . . A
n )
d 1 . . .
0
d r
0
0
. . .
0
= (A 1 . . . A r 0 . . . 0) = A.
1) E est fermé
Soient (S k ) k∈N une suite dans E et S ∈ M n (R) tels que :
S k −→
k∞
S.
4.5.50
4.5.51