b) On peut munir M n (R) d'au moins une norme d'algèbre (on
dit aussi : norme multiplicative, ou : norme sous-multiplicative), c'est-à-dire d'une norme ||.|| vérifiant :
∀ (A,B) ∈ (M n (R)) 2 , ||AB|| ||A|| ||B||.
Il suffit de choisir, par exemple :
||•|| : A = (a i j ) i j −→
1
n
Max
1i, jn
|a i j |.
On a :
∀ k ∈ N, ||A k || = ||(I n + A 2
k )B k || ||I n + A 2
k || ||B k ||
(I n + A 2
k ) k∈N bornée (car (A k ) k l’est)
B k −→
k∞
0
,
d'où : A k −→
k∞
0.
Notons F = Ker(Ω − I n ) ; F ⊥ est stable par Ω car, si
X ∈ F ⊥ , alors :
∀ Y ∈ F, t Y (Ω X) = t (ΩY )Ω X = t Y X = 0,
donc Ω X ∈ F ⊥ .
En utilisant une b.o.n. de F et une b.o.n. de F ⊥ , il existe donc
P ∈ O n (R), Ω ∈ M n− p (R) (où p = dim (F)) telles que :
Ω = P
I p
0
0 Ω
P −1 .
Puisque Ω et P sont orthogonales, il est clair que Ω l'est aussi.
De plus, Ω − I n− p est inversible car
Ω − I n ∼
0
0
0 Ω − I n− p
et rg (Ω − I n ) = n − p.
On a : ∀ k ∈ N ∗ , A k =
1
k
k
i=0
Ω
i = P
I p
0
0 A
k
P
−1 , où
A
k =
1
k
k
i=0
Ω
i .
Comme I n− p − Ω est inversible, on a :
k
i=0
Ω
i = (I n− p − Ω
)
−1 (I n− p − Ω
k+1 ).
D'autre part, munissons M n− p (R) de la norme |||.||| définie par :
|||M||| =
Sup
X∈M n− p,1 (R)−{0}
||M X||
||X||
, où ||.|| est la norme euclidienne canonique sur M n− p,1 (R).
On sait (cf. Analyse PC-PSI-PT, § 1.3.4 Prop.) que |||.||| est
multiplicative ; de plus, il est clair que :
∀ Ω ∈ O n− p (R), |||Ω ||| = 1.
D'où : ∀ k ∈ N ∗ , |||
k
i=0
Ω
i ||| 2|||(I n− p − Ω
)
−1 |||.
337
Ceci montre que
k
i=0
Ω
i
est bornée,
donc
1
k
k
i=0
Ω
i −→
k∞
0 .
Ainsi : A k −→
k∞
P
I p 0
0 0
P −1 , notée A.
• A est un projecteur car : A 2 = P
I p 0
0 0
P −1 = A
• Im(A) = Ker(Ω − I n )
• t A = A car P est orthogonale.
Réponse : A k −→
k∞
A, où A est le projecteur orthogonal sur
Ker(Ω − I n ).
a) α) Puisque A ∈ S ++
n , il existe R ∈ S ++
n
telle que A = R 2
(cf. ex. 4.5.26, ou ex. 4.5.62). Alors :
AB = R 2 B = R(R B R)R −1 ∼ R B R.
Mais R B R ∈ S n (R), donc R B R est diagonalisable, et
finalement AB est diagonalisable.
β) Avec les notations de α), puisque (B,R) ∈ S n (R) ×S ++
n ,
on a R B R ∈ S n (R), d'où :
Sp R (AB) ⊂ R
∗
+ ⇐⇒ Sp R (R B R) ⊂ R
∗
+
⇐⇒ R B R ∈ S
++
n ⇐⇒ B ∈ S
++
n .
b) (i) ⇒ (ii) : résulte de a) .
(ii) ⇒ (i) :
Supposons M diagonalisable dans M n (R) et Sp R (M) ⊂ R ∗
+ .
Il existe P ∈ GL n (R), D ∈ D n (R) telles que M = P D P −1 ,
et les termes diagonaux λ i (1 i n) de D sont > 0 .
Considérons ∆ = diag
√
λ i
1 i n
, A = P∆ t P ,
B = t P −1 ∆P −1 . On a alors A ∈ S ++
n , B ∈ S ++
n , et :
AB = P∆ t P t P
−1 ∆P
−1 = P∆ 2 P
−1
= P D P
−1 = M.
c) Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe
A,B,C,D ∈ S ++
n
telles que :
−I n = ABC D.
Notons U = AB , V = C D .
Ainsi : −I n = U V, donc U ∈ GL n (R) et V = −U −1 .
Mais, d'après b) :
∅ = Sp R (V ) ⊂ R ∗
+ et ∅ = Sp R (−U −1 ) ⊂ R ∗
− ,
d'où une contradiction.
a) α) Soient A ∈ S +
n , p ∈ {1,. . . ,n}.
Notons B = (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de M n,1 (R),
φ la fq de matrice A dans B , B p = (e 1 ,. . . ,e p ),
4.5.47
4.5.48
4.5.49
dit aussi : norme multiplicative, ou : norme sous-multiplicative), c'est-à-dire d'une norme ||.|| vérifiant :
∀ (A,B) ∈ (M n (R)) 2 , ||AB|| ||A|| ||B||.
Il suffit de choisir, par exemple :
||•|| : A = (a i j ) i j −→
1
n
Max
1i, jn
|a i j |.
On a :
∀ k ∈ N, ||A k || = ||(I n + A 2
k )B k || ||I n + A 2
k || ||B k ||
(I n + A 2
k ) k∈N bornée (car (A k ) k l’est)
B k −→
k∞
0
,
d'où : A k −→
k∞
0.
Notons F = Ker(Ω − I n ) ; F ⊥ est stable par Ω car, si
X ∈ F ⊥ , alors :
∀ Y ∈ F, t Y (Ω X) = t (ΩY )Ω X = t Y X = 0,
donc Ω X ∈ F ⊥ .
En utilisant une b.o.n. de F et une b.o.n. de F ⊥ , il existe donc
P ∈ O n (R), Ω ∈ M n− p (R) (où p = dim (F)) telles que :
Ω = P
I p
0
0 Ω
P −1 .
Puisque Ω et P sont orthogonales, il est clair que Ω l'est aussi.
De plus, Ω − I n− p est inversible car
Ω − I n ∼
0
0
0 Ω − I n− p
et rg (Ω − I n ) = n − p.
On a : ∀ k ∈ N ∗ , A k =
1
k
k
i=0
Ω
i = P
I p
0
0 A
k
P
−1 , où
A
k =
1
k
k
i=0
Ω
i .
Comme I n− p − Ω est inversible, on a :
k
i=0
Ω
i = (I n− p − Ω
)
−1 (I n− p − Ω
k+1 ).
D'autre part, munissons M n− p (R) de la norme |||.||| définie par :
|||M||| =
Sup
X∈M n− p,1 (R)−{0}
||M X||
||X||
, où ||.|| est la norme euclidienne canonique sur M n− p,1 (R).
On sait (cf. Analyse PC-PSI-PT, § 1.3.4 Prop.) que |||.||| est
multiplicative ; de plus, il est clair que :
∀ Ω ∈ O n− p (R), |||Ω ||| = 1.
D'où : ∀ k ∈ N ∗ , |||
k
i=0
Ω
i ||| 2|||(I n− p − Ω
)
−1 |||.
337
Ceci montre que
k
i=0
Ω
i
est bornée,
donc
1
k
k
i=0
Ω
i −→
k∞
0 .
Ainsi : A k −→
k∞
P
I p 0
0 0
P −1 , notée A.
• A est un projecteur car : A 2 = P
I p 0
0 0
P −1 = A
• Im(A) = Ker(Ω − I n )
• t A = A car P est orthogonale.
Réponse : A k −→
k∞
A, où A est le projecteur orthogonal sur
Ker(Ω − I n ).
a) α) Puisque A ∈ S ++
n , il existe R ∈ S ++
n
telle que A = R 2
(cf. ex. 4.5.26, ou ex. 4.5.62). Alors :
AB = R 2 B = R(R B R)R −1 ∼ R B R.
Mais R B R ∈ S n (R), donc R B R est diagonalisable, et
finalement AB est diagonalisable.
β) Avec les notations de α), puisque (B,R) ∈ S n (R) ×S ++
n ,
on a R B R ∈ S n (R), d'où :
Sp R (AB) ⊂ R
∗
+ ⇐⇒ Sp R (R B R) ⊂ R
∗
+
⇐⇒ R B R ∈ S
++
n ⇐⇒ B ∈ S
++
n .
b) (i) ⇒ (ii) : résulte de a) .
(ii) ⇒ (i) :
Supposons M diagonalisable dans M n (R) et Sp R (M) ⊂ R ∗
+ .
Il existe P ∈ GL n (R), D ∈ D n (R) telles que M = P D P −1 ,
et les termes diagonaux λ i (1 i n) de D sont > 0 .
Considérons ∆ = diag
√
λ i
1 i n
, A = P∆ t P ,
B = t P −1 ∆P −1 . On a alors A ∈ S ++
n , B ∈ S ++
n , et :
AB = P∆ t P t P
−1 ∆P
−1 = P∆ 2 P
−1
= P D P
−1 = M.
c) Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe
A,B,C,D ∈ S ++
n
telles que :
−I n = ABC D.
Notons U = AB , V = C D .
Ainsi : −I n = U V, donc U ∈ GL n (R) et V = −U −1 .
Mais, d'après b) :
∅ = Sp R (V ) ⊂ R ∗
+ et ∅ = Sp R (−U −1 ) ⊂ R ∗
− ,
d'où une contradiction.
a) α) Soient A ∈ S +
n , p ∈ {1,. . . ,n}.
Notons B = (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de M n,1 (R),
φ la fq de matrice A dans B , B p = (e 1 ,. . . ,e p ),
4.5.47
4.5.48
4.5.49