336
on a aussi :
B
−1
A
−1 ⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n},
1
λ i
1
.
Enfin : ∀λ ∈ R,
λ 1 ⇒
1
λ
1
.
D’après le théorème de réduction simultanée (4.5.3 Th.
p. 169), il existe P ∈ GL n (R),
D =
d 1
0
. . .
0
d n
∈ D n (R)
telles que : A = t P P et B = t P D P.
Alors :
• det(A) = (det(P)) 2
• |det(A + iB)| = |det( t P(I n + iD)P)|
= (det(P)) 2 |det(I n + iD)|
• |det(I n + iD)| =
n
k=1
(1 + id k )
=
n
k=1
1 + d 2
k 1 ,
d’où : det(A) |det(A + iB)|.
Cas d’égalité :
det(A) = |det(A + iB)| ⇐⇒
n
k=1
(1 + d 2
k ) = 1
⇐⇒ (∀k ∈ {1,. . . ,n}, d k = 0) .
Réponse : det(A) = |det(A + iB)| ⇐⇒ B = 0 .
Puisque A est symétrique réelle, d'après le théorème fondamental (4.5.1 Th. p. 164) il existe Ω ∈ O n (R),
D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (R) telles que A = Ω DΩ −1 .
On déduit :
n
i=1
λ i = tr (D) = tr(A) = tr ( t M M − M t M)
= tr ( t M M) − tr(M
t M) = 0.
D'autre part A ∈ S +
n , donc : ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 0.
On déduit : ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, λ i = 0,
d'où D = 0 , puis A = 0 .
D'après 3.4 Cor. p. 100, f est trigonalisable dans M n (C), donc
det( f ) =
n
k=1
λ k , où λ 1 ,. . . ,λ n sont les vp de f (non nécessairement distinctes) dans C. De plus, les vp complexes non réelles
de f sont deux à deux conjuguées, donc
1 k n
λ k ∈R
λ k est un
réel > 0 .
D'autre part, Sp R ( f ) ⊂ {−1,1} (cf. 4.3.2 Prop. 10 p. 155).
Comme det ( f ) = −1 , il en résulte que l'ordre de multiplicité
de la vp −1 de f est impair ; en particulier, cet ordre est non
nul, donc −1 ∈ Sp R ( f ).
Formons les polynômes caractéristiques :
• χ A (λ) =
a 11 − λ
a 12
. . .
a 1n
a 12
a 22 − λ
. . .
. . .
. . .
. . .
a 1n
a nn − λ
= (−λ)
n + (−λ)
n−1
n
i=1
a ii
+(−λ) n−2
1 i< j n
a ii a i j
a i j a j j
+ . . .
• χ D (λ) =
n
i=1
(a ii − λ) = (−λ)
n + (−λ)
n−1
n
i=1
a ii
+(−λ) n−2
1 i< j n
a ii a j j + . . .
Supposons A ∼ D. Alors χ A = χ D , et en particulier :
1 i< j n
a ii a i j
a i j a j j
=
1 i< j n
a ii a j j ,
d'où :
1 i< j n
a 2
i j = 0,
donc : ∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (i < j ⇒ a i j = 0) ,
et finalement : A = D.
Soit X ∈ M n,1 (R). Comme :
∀ k ∈ N, ( t X A 2
k X 0, t X B 2
k X 0)
t X A 2
k X + t X B 2
k X = t X
A 2
k + B 2
k
X −→
k∞
0,
on déduit : t X A 2
k X −→
k∞
0 (et t X B 2
k X −→
k∞
0 ).
Mais : ∀ k ∈ N, t X A 2
k X = ||A k X|| 2 (où ||.|| est la norme euclidienne canonique) ; on en déduit : A k X −→
k∞
0.
Comme (∀ X ∈ M n,1 (R), A k X −→
k∞
0) , il est alors clair que :
A k −→
k∞
0 (et de même B k −→
k∞
0 ), en remplaçant X successivement par les vecteurs de la base canonique, par exemple.
Remarque :
On peut montrer de façon analogue le « Théorème d'encadrement » suivant :
Soient (A k ) k∈N , (B k ) k∈N , (C k ) k∈N trois suites dans S n (R), et
S ∈ S n (R) .
Si
∀ k ∈ N, A k B k C k
A k −→
k∞
S et C k −→
k∞
S
, alors B k −→
k∞
S.
a)
I n ∈ S ++
n
A 2
k ∈ S +
n
⇒ I n + A 2
k ∈ S ++
n ⊂ GL n (R) .
4.5.41
4.5.42
4.5.43
4.5.44
4.5.45
4.5.46
on a aussi :
B
−1
A
−1 ⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n},
1
λ i
1
.
Enfin : ∀λ ∈ R,
λ 1 ⇒
1
λ
1
.
D’après le théorème de réduction simultanée (4.5.3 Th.
p. 169), il existe P ∈ GL n (R),
D =
d 1
0
. . .
0
d n
∈ D n (R)
telles que : A = t P P et B = t P D P.
Alors :
• det(A) = (det(P)) 2
• |det(A + iB)| = |det( t P(I n + iD)P)|
= (det(P)) 2 |det(I n + iD)|
• |det(I n + iD)| =
n
k=1
(1 + id k )
=
n
k=1
1 + d 2
k 1 ,
d’où : det(A) |det(A + iB)|.
Cas d’égalité :
det(A) = |det(A + iB)| ⇐⇒
n
k=1
(1 + d 2
k ) = 1
⇐⇒ (∀k ∈ {1,. . . ,n}, d k = 0) .
Réponse : det(A) = |det(A + iB)| ⇐⇒ B = 0 .
Puisque A est symétrique réelle, d'après le théorème fondamental (4.5.1 Th. p. 164) il existe Ω ∈ O n (R),
D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (R) telles que A = Ω DΩ −1 .
On déduit :
n
i=1
λ i = tr (D) = tr(A) = tr ( t M M − M t M)
= tr ( t M M) − tr(M
t M) = 0.
D'autre part A ∈ S +
n , donc : ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 0.
On déduit : ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, λ i = 0,
d'où D = 0 , puis A = 0 .
D'après 3.4 Cor. p. 100, f est trigonalisable dans M n (C), donc
det( f ) =
n
k=1
λ k , où λ 1 ,. . . ,λ n sont les vp de f (non nécessairement distinctes) dans C. De plus, les vp complexes non réelles
de f sont deux à deux conjuguées, donc
1 k n
λ k ∈R
λ k est un
réel > 0 .
D'autre part, Sp R ( f ) ⊂ {−1,1} (cf. 4.3.2 Prop. 10 p. 155).
Comme det ( f ) = −1 , il en résulte que l'ordre de multiplicité
de la vp −1 de f est impair ; en particulier, cet ordre est non
nul, donc −1 ∈ Sp R ( f ).
Formons les polynômes caractéristiques :
• χ A (λ) =
a 11 − λ
a 12
. . .
a 1n
a 12
a 22 − λ
. . .
. . .
. . .
. . .
a 1n
a nn − λ
= (−λ)
n + (−λ)
n−1
n
i=1
a ii
+(−λ) n−2
1 i< j n
a ii a i j
a i j a j j
+ . . .
• χ D (λ) =
n
i=1
(a ii − λ) = (−λ)
n + (−λ)
n−1
n
i=1
a ii
+(−λ) n−2
1 i< j n
a ii a j j + . . .
Supposons A ∼ D. Alors χ A = χ D , et en particulier :
1 i< j n
a ii a i j
a i j a j j
=
1 i< j n
a ii a j j ,
d'où :
1 i< j n
a 2
i j = 0,
donc : ∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (i < j ⇒ a i j = 0) ,
et finalement : A = D.
Soit X ∈ M n,1 (R). Comme :
∀ k ∈ N, ( t X A 2
k X 0, t X B 2
k X 0)
t X A 2
k X + t X B 2
k X = t X
A 2
k + B 2
k
X −→
k∞
0,
on déduit : t X A 2
k X −→
k∞
0 (et t X B 2
k X −→
k∞
0 ).
Mais : ∀ k ∈ N, t X A 2
k X = ||A k X|| 2 (où ||.|| est la norme euclidienne canonique) ; on en déduit : A k X −→
k∞
0.
Comme (∀ X ∈ M n,1 (R), A k X −→
k∞
0) , il est alors clair que :
A k −→
k∞
0 (et de même B k −→
k∞
0 ), en remplaçant X successivement par les vecteurs de la base canonique, par exemple.
Remarque :
On peut montrer de façon analogue le « Théorème d'encadrement » suivant :
Soient (A k ) k∈N , (B k ) k∈N , (C k ) k∈N trois suites dans S n (R), et
S ∈ S n (R) .
Si
∀ k ∈ N, A k B k C k
A k −→
k∞
S et C k −→
k∞
S
, alors B k −→
k∞
S.
a)
I n ∈ S ++
n
A 2
k ∈ S +
n
⇒ I n + A 2
k ∈ S ++
n ⊂ GL n (R) .
4.5.41
4.5.42
4.5.43
4.5.44
4.5.45
4.5.46