• ∀x ∈ E,
x| f (x)
=
n
i=1
(x|e i ) 2 0
• Pour tout x de E :
(x| f (x)) = 0 ⇐⇒
n
i=1
(x|e i ) 2 = 0
⇐⇒ (∀i ∈ {1,. . . ,n}, (x|e i ) = 0)
⇐⇒ x ∈ {e 1 ,. . . ,e n }
⊥ = E
⊥ = {0}
⇐⇒ x = 0.
Finalement, f est symétrique défini-positif.
b) Soit B une b.o.n. de E ; notons A = Mat B ( f ).
D’après a), A ∈ S
++
n , donc A −1 existe et A −1 ∈ S
++
n ; ceci
montre que f −1 existe et est symétrique défini-positif.
D’après l’ex. 4.5.26, il existe R ∈ S
++
n telle que R 2 = A −1 .
En notant u l’endomorphisme de E tel que Mat B (u) = R, il
est clair que u est symétrique défini-positif et u ◦ u = f −1 .
c) Notons, pour i ∈ {1,. . . ,n}, v i = f −1 (e i ).
On a :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, e i = f (v i ) =
n
j=1
(e j |v i )e j .
Comme (e 1 ,. . . ,e n ) est libre, il en résulte :
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (e j |v i ) = δ i j
(symbole de Kronecker).
Puis, pour tout (i, j) de {1,. . . ,n} 2 :
(u(e i )|u(e j )) = (u ◦ u(e i )|e j ) = ( f −1 (e i )|e j )
= (v i |e j ) = δ i j ,
donc (u(e i )) 1 i n est une b.o.n. de E .
a) D’après l’ex. 4.5.26, il existe R ∈ S
+
n telle que R 2 = A. Alors
(cf. ex. 3.1.14) :
Sp C (AB) = Sp C (R(R B)) = Sp C (R B R).
Mais R B R ∈ S n (R), donc Sp C (R B R) = Sp R (R B R) ⊂ R.
b) Comme en a), avec de plus R B R ∈ S
+
n , donc
Sp C (R B R) ⊂ R + .
c) Il existe R ∈ S
++
n telle que R 2 = A, d’où :
AB = R 2 B = R(R B R)R −1 ∼ R B R .
Comme R B R ∈ S n (R) , R B R est diagonalisable (dans
M n (R)) , et donc AB, qui lui est semblable, l’est aussi.
d) Réponse : A =
1 0
0 0
, B =
0 1
1 0
.
335
a) • S
++
n ⊂ S
+
n et S
++
n ⊂ GL n (R) (car ∀S ∈ S
++
n ,
Sp R (S) ⊂ R ∗
+ ) , donc S
++
n ⊂ S
+
n ∩ GL n (R) .
• Soit S ∈ S
+
n ∩ GL n (R) .
Alors Sp R (S) ⊂ R + et 0 ∈ Sp R (S), d’où Sp R (S) ⊂ R ∗
+ , et
donc S ∈ S
++
n .
b) S
++
n = S
+
n ∩ GL n (R) et GL n (R) est ouvert (dans M n (R),
cf. Analyse PC-PSI-PT, ex. 1.3.2, donc S
++
n est ouvert dans S
+
n .
c) Soit S ∈ S
+
n . On a :
∀ p ∈ N ∗ , S +
1
p
I n ∈ S
++
n
S +
1
p
I n − − →
p∞
S
.
Ceci montre que S
++
n est dense dans S
+
n .
α) D’après 4.5.3 Th. p. 172, et le théorème fondamental,
comme B − A ∈ S
+
n , on a tr (B − A) 0 , donc
tr (A) tr (B).
β) 1) Si A ∈ S
++
n , d’après le théorème de réduction simultanée (4.5.2 Th. p. 169), il existe P ∈ GL n (R),
D =
d 1
0
. . .
0
d n
∈ D n (R) telles que :
A = t P P et B = t P D P.
Puisque B − A ∈ S
+
n et B − A = t P(D − I n )P ,
on déduit D − I n ∈ S
+
n , d’où : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, d i 1.
Puis : det(D) =
n
i=1
d i 1,
donc :
det(B) = (det(P)) 2 det(D) (det(P)) 2 = det(A) .
2) Si A ∈ S
+
n − S
++
n , alors det(A) = 0 et, comme
B A 0, B ∈ S
+
n donc det(B) 0 (cf. ex. 4.5.25), et finalement : det(A) det(B).
Puisque (A,B) ∈ S
++
n × S n (R), d’après le théorème de réduction simultanée (4.5.3 Th. p. 169), il existe P ∈ GL n (R),
D =
d 1
0
. . .
0
d n
∈ D n (R) telles que : A = t P P et
B = t P D P.
On a :
A B ⇐⇒ B − A ∈ S
+
n ⇐⇒ D − I n ∈ S
+
n
⇐⇒ (∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 1) .
Et, comme
A −1 = P −1 t (P −1 ) et B −1 = P −1 D −1 t (P −1 ) ,
4.5.37
4.5.38
4.5.39
4.5.40
x| f (x)
=
n
i=1
(x|e i ) 2 0
• Pour tout x de E :
(x| f (x)) = 0 ⇐⇒
n
i=1
(x|e i ) 2 = 0
⇐⇒ (∀i ∈ {1,. . . ,n}, (x|e i ) = 0)
⇐⇒ x ∈ {e 1 ,. . . ,e n }
⊥ = E
⊥ = {0}
⇐⇒ x = 0.
Finalement, f est symétrique défini-positif.
b) Soit B une b.o.n. de E ; notons A = Mat B ( f ).
D’après a), A ∈ S
++
n , donc A −1 existe et A −1 ∈ S
++
n ; ceci
montre que f −1 existe et est symétrique défini-positif.
D’après l’ex. 4.5.26, il existe R ∈ S
++
n telle que R 2 = A −1 .
En notant u l’endomorphisme de E tel que Mat B (u) = R, il
est clair que u est symétrique défini-positif et u ◦ u = f −1 .
c) Notons, pour i ∈ {1,. . . ,n}, v i = f −1 (e i ).
On a :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, e i = f (v i ) =
n
j=1
(e j |v i )e j .
Comme (e 1 ,. . . ,e n ) est libre, il en résulte :
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (e j |v i ) = δ i j
(symbole de Kronecker).
Puis, pour tout (i, j) de {1,. . . ,n} 2 :
(u(e i )|u(e j )) = (u ◦ u(e i )|e j ) = ( f −1 (e i )|e j )
= (v i |e j ) = δ i j ,
donc (u(e i )) 1 i n est une b.o.n. de E .
a) D’après l’ex. 4.5.26, il existe R ∈ S
+
n telle que R 2 = A. Alors
(cf. ex. 3.1.14) :
Sp C (AB) = Sp C (R(R B)) = Sp C (R B R).
Mais R B R ∈ S n (R), donc Sp C (R B R) = Sp R (R B R) ⊂ R.
b) Comme en a), avec de plus R B R ∈ S
+
n , donc
Sp C (R B R) ⊂ R + .
c) Il existe R ∈ S
++
n telle que R 2 = A, d’où :
AB = R 2 B = R(R B R)R −1 ∼ R B R .
Comme R B R ∈ S n (R) , R B R est diagonalisable (dans
M n (R)) , et donc AB, qui lui est semblable, l’est aussi.
d) Réponse : A =
1 0
0 0
, B =
0 1
1 0
.
335
a) • S
++
n ⊂ S
+
n et S
++
n ⊂ GL n (R) (car ∀S ∈ S
++
n ,
Sp R (S) ⊂ R ∗
+ ) , donc S
++
n ⊂ S
+
n ∩ GL n (R) .
• Soit S ∈ S
+
n ∩ GL n (R) .
Alors Sp R (S) ⊂ R + et 0 ∈ Sp R (S), d’où Sp R (S) ⊂ R ∗
+ , et
donc S ∈ S
++
n .
b) S
++
n = S
+
n ∩ GL n (R) et GL n (R) est ouvert (dans M n (R),
cf. Analyse PC-PSI-PT, ex. 1.3.2, donc S
++
n est ouvert dans S
+
n .
c) Soit S ∈ S
+
n . On a :
∀ p ∈ N ∗ , S +
1
p
I n ∈ S
++
n
S +
1
p
I n − − →
p∞
S
.
Ceci montre que S
++
n est dense dans S
+
n .
α) D’après 4.5.3 Th. p. 172, et le théorème fondamental,
comme B − A ∈ S
+
n , on a tr (B − A) 0 , donc
tr (A) tr (B).
β) 1) Si A ∈ S
++
n , d’après le théorème de réduction simultanée (4.5.2 Th. p. 169), il existe P ∈ GL n (R),
D =
d 1
0
. . .
0
d n
∈ D n (R) telles que :
A = t P P et B = t P D P.
Puisque B − A ∈ S
+
n et B − A = t P(D − I n )P ,
on déduit D − I n ∈ S
+
n , d’où : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, d i 1.
Puis : det(D) =
n
i=1
d i 1,
donc :
det(B) = (det(P)) 2 det(D) (det(P)) 2 = det(A) .
2) Si A ∈ S
+
n − S
++
n , alors det(A) = 0 et, comme
B A 0, B ∈ S
+
n donc det(B) 0 (cf. ex. 4.5.25), et finalement : det(A) det(B).
Puisque (A,B) ∈ S
++
n × S n (R), d’après le théorème de réduction simultanée (4.5.3 Th. p. 169), il existe P ∈ GL n (R),
D =
d 1
0
. . .
0
d n
∈ D n (R) telles que : A = t P P et
B = t P D P.
On a :
A B ⇐⇒ B − A ∈ S
+
n ⇐⇒ D − I n ∈ S
+
n
⇐⇒ (∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 1) .
Et, comme
A −1 = P −1 t (P −1 ) et B −1 = P −1 D −1 t (P −1 ) ,
4.5.37
4.5.38
4.5.39
4.5.40