334
On a :
t T T =
α 2
1
α 2
1
α 2
1 + α 2
2
α 2
1 + α 2
2
. . .
. . .
α 2
1 α 2
1 + α 2
2
. . . α 2
1 . . . + α 2
n
.
En choisissant α 1 =
√
a 1 > 0, α 2 =
√
a 2 − a 1 > 0 , . . .,
α n =
√
a n − a n−1 > 0, on a : T ∈ GL n (R) et A = t T T,
d’où : A ∈ S
++
n .
Remarquer d’abord : A ∈ S n (R).
D’après § 2.7.2 Exemple :
χ A (λ) =
a − λ
b
❜
b
a − λ
=
a − λ + (n − 1)b
(a − λ − b)
n−1 .
D’après 4.5.3 Th. p. 172 :
• A ∈ S
+
n ⇐⇒ Sp R (A) ⊂ R + ⇐⇒
a + (n − 1)b 0
a − b 0
• A ∈ S
++
n ⇐⇒ Sp R (A) ⊂ R ∗
+ ⇐⇒
a + (n − 1)b > 0
a − b > 0.
Réponse : • A ∈ S
+
n ⇐⇒ a Max
b,(1 − n)b
• A ∈ S
++
n ⇐⇒ a > Max
b,(1 − n)b
.
Remarquer d’abord : S ∈ S n+1 (R) .
• En notant P n+1 le polynôme caractéristique de S, et en développant par rapport à la (n + 1) `
eme ligne :
P n+1 (λ) =
α − λ
x 1
. . .
x n
x 1
β − λ
0
. . .
❜
x n
0
β − λ
[n+1]
= (β − λ)P n (λ) + (−1)
n x n
x 1
x 2
. . .
x n
β − λ
0
❜
0
β − λ 0
[n]
= (β − λ)P n (λ) − (β − λ) n−1 x 2
n .
En déduire :
χ S (λ) = (β − λ) n−1 T n (λ) ,
où T n est le trinôme défini par
T n (λ) = λ 2 − (α + β)λ +
αβ −
n
k=1
x 2
k
.
Le discriminant de T est (α − β) 2 + 4
n
k=1
x 2
k , et les zéros de
T sont > 0 si et seulement si leur somme et leur produit sont
> 0 , c’est-à-dire : α + β > 0 et αβ −
n
k=1
x 2
k > 0 .
Appliquer enfin 4.5.3 Th. p. 172.
Réponse : β > 0 et α >
1
β
n
k=1
x 2
k .
D’après l’ex. 3.3.7, les vp de S sont :
λ p = a + 2b cos
pπ
n + 1
, 1 p n .
Alors (cf. 4.5.3 Th. p. 172) :
S ∈ S
+
n ⇐⇒
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, 2b cos
pπ
n + 1
−a
⇐⇒ −2|b| cos
π
n + 1
−a,
et démarche analogue pour S
++
n .
Réponse : • S ∈ S
+
n ⇐⇒ 2|b| cos
π
n + 1
a
• S ∈ S
++
n ⇐⇒ 2|b| cos
π
n + 1
< a.
⇒ : évident.
⇐⇐ :
Supposons qu’il existe k ∈ N ∗ tel que AS k = S k A.
D’après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R),
D =
λ 1
0
. . .
0
λ n
∈ D n (R)
telles que S = Ω DΩ −1 .
De plus, puisque S ∈ S
+
n : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 0.
On a alors : ∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (λ k
i = λ k
j ⇒ λ i = λ j ).
Donc (interpolation de Lagrange sur les λ k
i deux à deux distincts), il existe P ∈ R[X] tel que :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i = P(λ k
i ).
Alors D = P(D k ), puis S = P(S k ). Comme S k commute
avec A et que S est un polynôme en S k , on conclut que S commute avec A.
a) Il est clair que f ∈ L(E) . De plus :
• ∀(x,y) ∈ E 2 , ( f (x)|y) =
n
i=1
(e i |x)e i
y
=
n
i=1
(e i |x)(e i |y) =
x
n
i=1
(e i |y)e i
= (x| f (y))
4.5.32
4.5.33
4.5.34
4.5.35
4.5.36
On a :
t T T =
α 2
1
α 2
1
α 2
1 + α 2
2
α 2
1 + α 2
2
. . .
. . .
α 2
1 α 2
1 + α 2
2
. . . α 2
1 . . . + α 2
n
.
En choisissant α 1 =
√
a 1 > 0, α 2 =
√
a 2 − a 1 > 0 , . . .,
α n =
√
a n − a n−1 > 0, on a : T ∈ GL n (R) et A = t T T,
d’où : A ∈ S
++
n .
Remarquer d’abord : A ∈ S n (R).
D’après § 2.7.2 Exemple :
χ A (λ) =
a − λ
b
❜
b
a − λ
=
a − λ + (n − 1)b
(a − λ − b)
n−1 .
D’après 4.5.3 Th. p. 172 :
• A ∈ S
+
n ⇐⇒ Sp R (A) ⊂ R + ⇐⇒
a + (n − 1)b 0
a − b 0
• A ∈ S
++
n ⇐⇒ Sp R (A) ⊂ R ∗
+ ⇐⇒
a + (n − 1)b > 0
a − b > 0.
Réponse : • A ∈ S
+
n ⇐⇒ a Max
b,(1 − n)b
• A ∈ S
++
n ⇐⇒ a > Max
b,(1 − n)b
.
Remarquer d’abord : S ∈ S n+1 (R) .
• En notant P n+1 le polynôme caractéristique de S, et en développant par rapport à la (n + 1) `
eme ligne :
P n+1 (λ) =
α − λ
x 1
. . .
x n
x 1
β − λ
0
. . .
❜
x n
0
β − λ
[n+1]
= (β − λ)P n (λ) + (−1)
n x n
x 1
x 2
. . .
x n
β − λ
0
❜
0
β − λ 0
[n]
= (β − λ)P n (λ) − (β − λ) n−1 x 2
n .
En déduire :
χ S (λ) = (β − λ) n−1 T n (λ) ,
où T n est le trinôme défini par
T n (λ) = λ 2 − (α + β)λ +
αβ −
n
k=1
x 2
k
.
Le discriminant de T est (α − β) 2 + 4
n
k=1
x 2
k , et les zéros de
T sont > 0 si et seulement si leur somme et leur produit sont
> 0 , c’est-à-dire : α + β > 0 et αβ −
n
k=1
x 2
k > 0 .
Appliquer enfin 4.5.3 Th. p. 172.
Réponse : β > 0 et α >
1
β
n
k=1
x 2
k .
D’après l’ex. 3.3.7, les vp de S sont :
λ p = a + 2b cos
pπ
n + 1
, 1 p n .
Alors (cf. 4.5.3 Th. p. 172) :
S ∈ S
+
n ⇐⇒
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, 2b cos
pπ
n + 1
−a
⇐⇒ −2|b| cos
π
n + 1
−a,
et démarche analogue pour S
++
n .
Réponse : • S ∈ S
+
n ⇐⇒ 2|b| cos
π
n + 1
a
• S ∈ S
++
n ⇐⇒ 2|b| cos
π
n + 1
< a.
⇒ : évident.
⇐⇐ :
Supposons qu’il existe k ∈ N ∗ tel que AS k = S k A.
D’après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R),
D =
λ 1
0
. . .
0
λ n
∈ D n (R)
telles que S = Ω DΩ −1 .
De plus, puisque S ∈ S
+
n : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 0.
On a alors : ∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (λ k
i = λ k
j ⇒ λ i = λ j ).
Donc (interpolation de Lagrange sur les λ k
i deux à deux distincts), il existe P ∈ R[X] tel que :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i = P(λ k
i ).
Alors D = P(D k ), puis S = P(S k ). Comme S k commute
avec A et que S est un polynôme en S k , on conclut que S commute avec A.
a) Il est clair que f ∈ L(E) . De plus :
• ∀(x,y) ∈ E 2 , ( f (x)|y) =
n
i=1
(e i |x)e i
y
=
n
i=1
(e i |x)(e i |y) =
x
n
i=1
(e i |y)e i
= (x| f (y))
4.5.32
4.5.33
4.5.34
4.5.35
4.5.36