Notons B = Ω −1 S Ω . On a alors :
S = Ω DΩ −1 , S = Ω BΩ −1 , SS = Ω D BΩ −1 ,
d’où :
tr (SS ) = tr (D B) et tr (S)tr (S ) = tr (D) tr (B).
Autrement dit, on a reporté le problème sur le couple (D,B)
au lieu de (S,S ), où D est diagonale.
Notons D =




λ 1
0
. . .
0
λ n



 et B = (b i j ) i j .
Comme S ∈ S
+
n , on a : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 0.
D’autre part, B ∈ S
+
n car : B = Ω −1 S Ω , Ω ∈ O n (R),
S ∈ S
+
n . En particulier, en notant (E 1 ,. . . ,E n ) la base
canonique de M n,1 (R) :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, b ii = t E i BE i 0.
a) Il est clair (par développement, par exemple) que :
n
i=1
λ i b ii
n
i=1
λ i
n
i=1
b ii
,
d’où : tr (SS ) = tr (D B) tr (D) tr (B) = tr (S)tr (S ) .
b) Si (S,S ) ∈ (S
++
n ) 2 , alors :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, (λ i > 0 et b ii > 0) , d’où (si n 2 ) :
n
i=1
λ i b ii <
n
i=1
λ i
n
i=1
b ii
,
et donc : tr(SS ) < tr(S)tr(S ).
Soit (A,B) ∈
M n (R)
2 . On a :
||AB|| 2 = tr ( t (AB)AB) = tr ( t B( t A AB)) = tr (( t A A)(B t B)).
D’après l’ex. 4.5.27 a), comme t A A ∈ S
+
n et B t B ∈ S
+
n , on a :
tr(( t A A)(B t B)) tr( t A A)tr(B t B) = tr( t A A)tr( t B B)
= ||A|| 2 ||B|| 2 .
Remarque : En particulier :
∀k ∈ N ∗ , ||A k || ||A|| k ,
et donc :
∀k ∈ N ∗ , ||A k || 1/k ||A||.
1) Pour p = 2, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le
produit scalaire canonique < ·,· > sur M n (R) :
|tr(A 1 A 2 )| = | < t A 1 ,A 2 > | || t A 1 || ||A 2 ||
= ||A 1 || ||A 2 ||.
2) Soit p 3 . D’après le cas p = 2 :
tr
p
i=1
A i
p−1
i=1
A i
||A p || .
333
D’autre part, d’après l’exercice 4.5.29 et une récurrence immédiate :
p−1
i=1
A i
p−1
i=1
||A i ||.
D’où :
tr
p
i=1
A i
p
i=1
||A i ||.
Il suffit d’appliquer l’ex. 4.5.7 à S = t A A ∈ S
+
n , en remarquant :
∀X ∈ M n,1 (R), t X S X = ||AX|| 2 .
1) Supposons A ∈ S
++
n . Notons B = (E 1 ,. . . ,E n ) la base canonique de M n,1 (R), φ la fq de matrice A dans B , et, pour
chaque i de {1,. . . ,n}, φ i la fq sur Vect(E 1 ,. . . ,E i ) de
matrice





a 1
a 1
a 2
a 2
. . .
. . .
a 1 a 2 . . . a i





dans la base (E i ,. . . ,E i ).
Chaque φ i est définie-positive, donc (ex. 4.5.25) :
∀i ∈ {1,. . . ,n},
a 1
a 1
a 2
a 2
. . .
. . .
a 1 a 2 . . . a i
> 0.
Mais, par L k ←− L k − L k−1 (2 k i) :
a 1
a 1
a 2
a 2
. . .
. . .
a 1 a 2 . . . a i
=
a 1
a 1
a 2 − a 1
a 2 − a 1
. . .
. . .
0
a i − a i−1
= a 1 (a 2 − a 1 ) . . . (a i − a i−1 ).
D’où :
a 1 > 0, a 1 (a 2 − a 1 ) > 0,. . . ,
a 1 (a 2 − a 1 ) . . . (a n − a n−1 ) > 0 ,
et donc : 0 < a 1 < a 2 < . . . < a n .
2) Réciproquement, supposons 0 < a 1 < . . . < a n .
Soient α 1 ,. . . ,α n ∈ R (à choisir ultérieurement)
et T =





α 1
α 1
α 2
α 2
. . .
. . .
0
α n





∈ T n,s (R).
4.5.28
4.5.29
4.5.30
4.5.31