332
a) On déduit de l’ex. 4.5.18 :
S ∈ S
+
p+q ⇐⇒
A − U B −1 t U 0
0
B
∈ S
+
p+q
⇐⇒
A − U B −1 t U ∈ S
+
p
B ∈ S
+
q
⇐⇒ A − U B
−1 t U ∈ S
+
p .
b) Même méthode.
a) L’application f : M n (R) −→ M n (R)
A −→ t A−A
est continue,
{0} est fermé dans M n (R), et S n (R) = f −1 ({0}) ; donc S n (R)
est fermé dans M n (R).
b) Soit (A k ) k∈N une suite dans S
+
n , convergeant vers un élément A de M n (R).
• D’après a), comme S
+
n ⊂ S n (R) , on a déjà : A ∈ S n (R).
• Soit X ∈ M n,1 (R). On a : ∀k ∈ N, t X A k X 0.
Comme A k − − →
k∞
A , on déduit :
t X A k X − − →
k∞
t X AX.
Par passage à la limite dans les inégalités, on obtient :
t X AX 0 , et donc A ∈ S
+
n .
Ceci montre que S
+
n est fermé dans M n (R).
Enfin, S
+
n = S
+
n ∩ S n (R), donc S
+
n est aussi fermé dans
S n (R).
Notons X =



x 1
. . .
x n


, S X =



y 1
. . .
y n


.
Par hypothèse :

    
    
∀k ∈ {1,. . . ,n}, x k 0
∀k ∈ {1,. . . ,n}, y k 0
t X S X =
n
k=1
x k y k 0
,
d’où t X S X = 0, puis X = 0 (car S ∈ S
++
n ).
Former le polynôme caractéristique :
χ C (λ) = (1 − λ) 3 + 2 cos α cos β cos γ − (1 − λ)M ,
où M = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ .
Étudier les variations de χ C :
est scindé sur R . Ainsi, les vp de C sont toutes > 0 et donc
(4.5.3 Th. p. 172) : C ∈ S
++
3 .
Examiner l’exemple
n = 2, A =
1 0
0 0
, B =
0 1
1 0
,
pour lequel AB =
0 1
0 0
, qui n’est pas diagonalisable.
Réponse : • oui, si n = 1
• non, si n 2 .
D’après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R),
D =




λ 1
0
. . .
0
λ n



 ∈ D n (R)
telles que A = Ω DΩ −1 .
a) φ 0 ⇐⇒ A ∈ S
+
n ⇐⇒ (∀i ∈ {1,. . . ,n},λ i 0)
⇒ det(A) =
n
i=1
λ i 0.
b) φ > 0 ⇐⇒ A ∈ S
++
n ⇐⇒ (∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i > 0)
⇒ det(A) =
n
i=1
λ i > 0.
D’après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R),
D =




λ 1
0
. . .
0
λ n



 ∈ D n (R)
telles que S = Ω DΩ −1 .
En notant R = Ω




p
√
λ 1
0
. . .
0
p
√
λ n



 Ω −1 , on a :
R ∈ S n (R) et R p = Ω DΩ −1 = S.
De plus, R ∈ S
+
n si S ∈ S
+
n , car alors :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 0.
a) On a t A A ∈ S
+
n , donc (4.5.3 Th. p. 172) :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, µ i 0.
b)
n
i=1
µ i = tr ( t A A) =
n
j=1
n
i=1
a 2
i j
.
Soit (S,S ) ∈ (S
+
n ) 2 .
D’après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R),
D ∈ D n (R) telles que S = Ω DΩ −1 .
4.5.20
4.5.22
4.5.21
4.5.27
4.5.26
4.5.25
4.5.24
4.5.23
λ
−∞ 0 1 −
M
3
1 +
M
3
+∞
+∞
χ C (λ)
δ
−∞
Comme χ C (0) = δ > 0 , χ C n’admet aucun zéro dans
] − ∞; 0]. D’autre part, d’après le théorème fondamental, χ C