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Ainsi, R B R est symétrique et nilpotente, donc (comme dans
la 1 ère méthode), R B R = 0, d'où B = 0.
a) Notons ψ 1 : (R n [X]) 2 −→ R
(P,Q) −→ϕ(P Q)
et ψ 2 : (R n [X]) 2 −→ R
(P,Q) −→ϕ(XP Q)
. Il est
clair que ψ 1 et ψ 2 sont des formes bilinéaires symétriques. De
plus :
∀ P ∈ R n [X] − {0} , ψ 1 (P,P) = ϕ(P 2 ) > 0,
donc la fq associée à ψ 1 est définie-positive.
D'après le théorème de réduction simultanée (4.5.2 Th.
p. 169), il existe (α 0 ,. . . ,α n ) ∈ R n+1 et une famille libre
(ϕ 0 ,. . . ,ϕ n ) de formes linéaires sur R n [X], tels que :
∀ (P,Q) ∈ (R n [X] 2 ),

  
  
ψ 1 (P,Q) =
n
i=0
ϕ i (P)ϕ i (Q)
ψ 2 (P,Q) =
n
i=0
α i ϕ i (P)ϕ i (Q).
b) • Soit Q ∈ R n−1 [X]. On a, pour tout P de R n [X] :
n
i=0
ϕ i (P)ϕ i (XQ) = ϕ(PXQ) = ϕ(XP Q)
=
n
i=0
α i ϕ i (P)ϕ i (Q),
d'où :
n
i=0
(ϕ i (XQ) − α i ϕ i (Q))ϕ i = 0.
Comme (ϕ i ) 0 i n est libre, on déduit :
∀ i ∈ {0,. . . ,n}, ϕ i (XQ) = α i ϕ i (Q).
En appliquant ceci à Q = 1,X,. . . ,X n−1 , on déduit :
ϕ i (X) = α i ϕ i (1), ϕ i (X 2 ) = α 2
i ϕ i (1),
. . . , ϕ i (X
n ) = α
n
i ϕ i (1).
• Soit P ∈ R n [X] quelconque, P =
n
k=0
β k X
k . On a :
∀ i ∈ {0,. . . ,n}, ϕ i (P) =
n
k=0
β k ϕ i (X
k )
=
n
k=0
β k α
k
i ϕ i (1) = P(α i )ϕ i (1).
D'où, pour tout (P,Q) de (R n [X]) 2 :
ϕ(P Q) =
n
i=0
ϕ i (P)ϕ i (Q) =
n
i=0
(ϕ i (1)) 2 P(α i )Q(α i ).
Notons R =
1
2
(A + A) , S =
1
2i
(A − A) ; ainsi :
(R,S) ∈ (M n (R)) 2 et A = R + iS
(on dit que R et S sont les parties réelle et imaginaire de A).
De t A = A, on déduit : t R = R et t S = S .
Ainsi, (R,S) ∈ (S n (R)) 2 ; de plus, par hypothèse,
R =
1
2
(A + A) ∈ S ++
n .
D'après le théorème de réduction simultanée (4.5.2 Th.
p. 169), il existe Q ∈ GL n (R) et (t 1 ,. . . ,t n ) ∈ R n tels que :
R = t Q Q et S = t Q diag (t 1 ,. . . ,t n )Q.
En notant P = Q −1 , on obtient :
t P AP = t Q
−1 (R + iS)Q
−1 = I n + i diag (t 1 ,. . . ,t n )
=




1 + it 1
0
. . .
0
1 + it n



 .
D'après le théorème fondamental (4.5.1 Th. p. 164), puisque
t A A ∈ S ++
n , il existe Ω ∈ O n (R), et (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ (R ∗
+ ) n tels
qu'en notant D = diag (λ 1 ,. . . ,λ n ), on ait :
t A A = Ω DΩ −1 .
Il est clair qu'on peut supposer λ 1 . . . λ n > 0 .
Notons V = Ω −1 U =



v 1
. . .
v n


. On a :
||AU || 2 = t U t A AU = t V DV =
n
i=1
λ i v 2
i ,
donc :
||AU || 2
n
i=1
λ n v 2
i = λ n ||V || 2 = λ n ||U || 2 = λ n .
D'autre part, en appliquant la comparaison entre moyennes
arithmétique et géométrique à λ 1 ,. . . ,λ n−1 , on obtient :
(det (A)) 2
λ n
1
n−1
=
det ( t A A)
λ n
1
n−1 =
n−1
i=1
λ i
1
n−1
1
n − 1
n−1
i=1
λ i <
1
n − 1
n
i=1
λ i =
1
n − 1
tr ( t A A).
D'où : ||AU || 2 λ n >
(det (A)) 2
(tr ( t A A)) n−1
(n − 1) n−1 .
• Soit A ∈ S +
n .
D'après le théorème fondamental (4.5.1 Th. p. 164), il existe
P ∈ GL n (R) , D = diag (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (R) telles que
A = P D P −1 , et : ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, λ i 0.
Soit Ω ∈ O n (R) ; notons Q = P −1 Ω P , qui est orthogonale.
On a : tr (AΩ) = tr(DQ).
Notons Q = (q i j ) i j . Ainsi :
|tr (DQ)| = |
n
i=1
λ i q ii |
n
i=1
λ i |q ii |.
Puisque Q ∈ O n (R) : ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, |q ii | 1, d'où :
|tr(DQ)|
n
i=1
λ i = tr (A).
4.5.54
4.5.55
4.5.56
4.5.57