D'après 5) :
A = 0
B = 0
⇒ A ⊗ B = A ⊗ B = 0 ⇒
A = 0
B = 0
.
Il existe donc (i 0 , j 0 ) ∈ {1,. . . ,n} × {1,. . . ,n } tel que
a
i 0 j 0
= 0. En notant α = a i 0 j 0 a
−1
i 0 j 0
, on a alors α = 0 et
B =
1
α
B.
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,n} × {1,. . . ,n } ; on a :
a i j B = a
i j B =
1
α
a
i j B , d'où (puisque B = 0) :
a
i j = αa i j .
On déduit :
A = α A.
Remarque :
Soient A,B ∈ M n, p (K ) telles que A = 0 . On a :
A ⊗ B = B ⊗ A ⇐⇒ (∃α ∈ K , B = α A) .
10) • Il est clair, d'après 8), que, si A
∈ M n (K )
et
B
∈ M p (K )
sont symétriques ou antisymétriques (quatre cas),
alors A ⊗ B est symétrique ou antisymétrique, suivant une
« règle des signes » :
t A = ε A
t B = ε B
⇒ t (A ⊗ B) = ( t A) ⊗ ( t B)
= (ε A) ⊗ (ε
B) = εε
(A ⊗ B).
• Réciproquement, soient A ∈ M n (K ) − {0},
B ∈ M p (K ) − {0} telles que A ⊗ B soit symétrique ou
antisymétrique :
t (A ⊗ B) = ε (A ⊗ B), ε ∈ {−1,1} .
D'après 8) :
( t A) ⊗ ( t B) = t (A ⊗ B) = ε (A ⊗ B) = (ε A) ⊗ B .
Puis (cf. 9)), il existe α ∈ K − {0} tel que :
t A = αε A et t B =
1
α
B.
Mais alors :
B = tt B =
1
α
t B =
1
α 2
B,
d'où
α 2 = 1, α ∈ {−1,1},
et donc A et B sont symétriques ou antisymétriques.
En particulier, si A ⊗ B est symétrique et A = 0 et B = 0, alors
A et B sont symétriques ou sont antisymétriques.
11) Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ) − {0} . On a :
A ⊗ B =
a 11 B . . . a 1n B
. . .
. . .
a n1 B . . . a nn B
∈ T np,s (K )
321
⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (i > j ⇒ a i j B = 0)
⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (i > j ⇒ a i j = 0)
⇐⇒ A ∈ T n,s (K ).
12) Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M n (K ).
• Si A et B sont diagonales, A = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ,
B = diag(µ 1 ,. . . ,µ p ) , il est clair qu'alors A ⊗ B est diagonale
et :
A ⊗ B = diag(λ 1 µ 1 ,. . . ,λ 1 µ p ,λ 2 µ 1 ,. . . ,λ 2 µ p ,. . . ,
λ n µ 1 ,. . . ,λ n µ p ).
• Réciproquement, supposons A ⊗ B diagonale et A = 0 ,
B = 0.
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 tel que i = j. Comme A ⊗ B est diagonale, on a a i j B = 0, d'où a i j = 0 .
Ceci montre que A est diagonale.
Puis, comme A = 0 , il existe i 0 ∈ {1,. . . ,n} tel que a i 0 i 0 = 0.
Comme A ⊗ B est diagonale, a i 0 i 0 B est diagonale, et donc B
est diagonale.
13) Soient (A i ) i∈I (resp. (B j ) j∈J ) une famille d'éléments de
M n (K ) (resp. M p (K )) commutant deux à deux.
Soient (i, j),(i , j ) ∈ I × J . On a, d'après 2) :
(A i ⊗ B j )(A i ⊗ B j ) = (A i A i ) ⊗ (B j B j )
= (A i A i ) ⊗ (B j B j )
= (A i ⊗ B j )(A i ⊗ B j ).
Ainsi, les A i ⊗ B j
(i, j) ∈ I × J
commutent deux à deux.
14) Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ).
• tr(A ⊗ B) =
n
i=1
a ii tr(B) = tr(A)tr(B).
• det(A ⊗ B) = det
(A ⊗ I p )(I n ⊗ B)
= det(A ⊗ I p )det(I n ⊗ B) .
D'une part :
det(I n ⊗ B) = det
B
0
. . .
0
B
=
det(B)
n
.
D'autre part, en reprenant la solution de 1), on voit que B ⊗ A
est la matrice de f A,B dans les bases canoniques rangées sous
la forme :
(E
11 ,. . . ,E
n 1 ,E
12 ,. . . ,E
n 2 ,. . . ,E
1p ,. . . ,E
n p )
et
(E 11 ,. . . ,E n1 ,E 12 ,. . . ,E n2 ,. . . ,E 1p ,. . . ,E np ).
D'où :
det(A ⊗ I p ) = det( f A,I p ) = det(I p ⊗ A) =
det(A)
p
.
Finalement :
det(A ⊗ B) =
det(A)
p
det(B)
n
.
A = 0
B = 0
⇒ A ⊗ B = A ⊗ B = 0 ⇒
A = 0
B = 0
.
Il existe donc (i 0 , j 0 ) ∈ {1,. . . ,n} × {1,. . . ,n } tel que
a
i 0 j 0
= 0. En notant α = a i 0 j 0 a
−1
i 0 j 0
, on a alors α = 0 et
B =
1
α
B.
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,n} × {1,. . . ,n } ; on a :
a i j B = a
i j B =
1
α
a
i j B , d'où (puisque B = 0) :
a
i j = αa i j .
On déduit :
A = α A.
Remarque :
Soient A,B ∈ M n, p (K ) telles que A = 0 . On a :
A ⊗ B = B ⊗ A ⇐⇒ (∃α ∈ K , B = α A) .
10) • Il est clair, d'après 8), que, si A
∈ M n (K )
et
B
∈ M p (K )
sont symétriques ou antisymétriques (quatre cas),
alors A ⊗ B est symétrique ou antisymétrique, suivant une
« règle des signes » :
t A = ε A
t B = ε B
⇒ t (A ⊗ B) = ( t A) ⊗ ( t B)
= (ε A) ⊗ (ε
B) = εε
(A ⊗ B).
• Réciproquement, soient A ∈ M n (K ) − {0},
B ∈ M p (K ) − {0} telles que A ⊗ B soit symétrique ou
antisymétrique :
t (A ⊗ B) = ε (A ⊗ B), ε ∈ {−1,1} .
D'après 8) :
( t A) ⊗ ( t B) = t (A ⊗ B) = ε (A ⊗ B) = (ε A) ⊗ B .
Puis (cf. 9)), il existe α ∈ K − {0} tel que :
t A = αε A et t B =
1
α
B.
Mais alors :
B = tt B =
1
α
t B =
1
α 2
B,
d'où
α 2 = 1, α ∈ {−1,1},
et donc A et B sont symétriques ou antisymétriques.
En particulier, si A ⊗ B est symétrique et A = 0 et B = 0, alors
A et B sont symétriques ou sont antisymétriques.
11) Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ) − {0} . On a :
A ⊗ B =
a 11 B . . . a 1n B
. . .
. . .
a n1 B . . . a nn B
∈ T np,s (K )
321
⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (i > j ⇒ a i j B = 0)
⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , (i > j ⇒ a i j = 0)
⇐⇒ A ∈ T n,s (K ).
12) Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M n (K ).
• Si A et B sont diagonales, A = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ,
B = diag(µ 1 ,. . . ,µ p ) , il est clair qu'alors A ⊗ B est diagonale
et :
A ⊗ B = diag(λ 1 µ 1 ,. . . ,λ 1 µ p ,λ 2 µ 1 ,. . . ,λ 2 µ p ,. . . ,
λ n µ 1 ,. . . ,λ n µ p ).
• Réciproquement, supposons A ⊗ B diagonale et A = 0 ,
B = 0.
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 tel que i = j. Comme A ⊗ B est diagonale, on a a i j B = 0, d'où a i j = 0 .
Ceci montre que A est diagonale.
Puis, comme A = 0 , il existe i 0 ∈ {1,. . . ,n} tel que a i 0 i 0 = 0.
Comme A ⊗ B est diagonale, a i 0 i 0 B est diagonale, et donc B
est diagonale.
13) Soient (A i ) i∈I (resp. (B j ) j∈J ) une famille d'éléments de
M n (K ) (resp. M p (K )) commutant deux à deux.
Soient (i, j),(i , j ) ∈ I × J . On a, d'après 2) :
(A i ⊗ B j )(A i ⊗ B j ) = (A i A i ) ⊗ (B j B j )
= (A i A i ) ⊗ (B j B j )
= (A i ⊗ B j )(A i ⊗ B j ).
Ainsi, les A i ⊗ B j
(i, j) ∈ I × J
commutent deux à deux.
14) Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ).
• tr(A ⊗ B) =
n
i=1
a ii tr(B) = tr(A)tr(B).
• det(A ⊗ B) = det
(A ⊗ I p )(I n ⊗ B)
= det(A ⊗ I p )det(I n ⊗ B) .
D'une part :
det(I n ⊗ B) = det
B
0
. . .
0
B
=
det(B)
n
.
D'autre part, en reprenant la solution de 1), on voit que B ⊗ A
est la matrice de f A,B dans les bases canoniques rangées sous
la forme :
(E
11 ,. . . ,E
n 1 ,E
12 ,. . . ,E
n 2 ,. . . ,E
1p ,. . . ,E
n p )
et
(E 11 ,. . . ,E n1 ,E 12 ,. . . ,E n2 ,. . . ,E 1p ,. . . ,E np ).
D'où :
det(A ⊗ I p ) = det( f A,I p ) = det(I p ⊗ A) =
det(A)
p
.
Finalement :
det(A ⊗ B) =
det(A)
p
det(B)
n
.