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Ainsi, la (i , j ) `
eme colonne de Mat B ,B ( f A,B ) est :






















a 1i b 1 j
. . .
a 1i b pj
a 2i b 1 j
. . .
a 2i b pj
. . .
a ni b 1 j
. . .
a ni b pj






















,
et donc Mat B ,B ( f A,B )
=



a 11 B . . . a 1n B
. . .
. . .
a n1 B . . . a nn B


 = A ⊗ B .
b) 1) • Soient α,α ∈ K , A,A ∈ M n,n (K ),
B ∈ M p, p (K ). On a, pour tout M de M n , p (K ) :
f α A+α A ,B (M) = (α A + α
A
)M t B
= α AM t B + α
A
M t B
= α f A,B (M) + α
f A ,B (M),
d'où (cf. 1)) : (α A + α A ) ⊗ B = α A ⊗ B + α A ⊗ B.
• Un calcul analogue fournit :
∀β,β ∈ K , ∀A ∈ M n,n (K ), ∀B,B ∈ M p, p (K ) ,
A ⊗ (β B + β B ) = β A ⊗ B + β A ⊗ B .
2) Soient A ∈ M n,n (K ), A ∈ M n ,n (K ) ,
B ∈ M p, p (K ), B ∈ M p , p (K ) .
On a : ∀M ∈ M p, p (K ),
f AA ,B B (M) = (A A
)M t (B B
) = A(A
M t B
) t B
= f A,B ◦ f A ,B (M)
,
d'où cf 1)) : (A A ) ⊗ (B B ) = (A ⊗ B)(A ⊗ B ) .
3) Soient A ∈ M n,n (K ), B ∈ M p, p (K ). D'après 2) :
A ⊗ B = (AI n ) ⊗ (I p B) = (A ⊗ I p )(I n ⊗ B).
4) Une récurrence immédiate utilisant 2) montre :
∀k ∈ N, ∀A ∈ M n (K ), ∀B ∈ M p (K ),
(A ⊗ B)
k = A
k ⊗ B
k .
5) Soient A ∈ M n,n (K ), B ∈ M p, p (K ).
• Il est clair que :
A = 0
ou
B = 0
⇒ A ⊗ B = 0 .
• Réciproquement, supposons A ⊗ B = 0 .
Alors, en notant A = (a i j ) i j :
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} × {1,. . . ,n
}, a i j B = 0.
Si B = 0, alors
∀(i, j), a i j = 0
, donc A = 0 .
Ceci montre : A = 0 ou B = 0.
6) Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ).
• Si A et B sont inversibles, alors, d'après 2) :
(A ⊗ B)(A
−1 ⊗ B
−1 ) = (A A
−1 ) ⊗ (B B
−1 )
= I n ⊗ I p = I np ,
donc A ⊗ B (∈ M np (K )) est inversible, et :
(A ⊗ B) −1 = A −1 ⊗ B −1 .
• Réciproquement, supposons A ⊗ B inversible.
Raisonnons par l'absurde : supposons A (par exemple) non inversible. Il existe alors V ∈ Ker(A) tel que V = 0, d'où, en notant A = (V,. . . ,V ) ∈ M n (K ) :
(A ⊗ B)(A
⊗ I p ) = (A A
) ⊗ (BI p ) = 0 ⊗ B = 0,
et A ⊗ I p = 0 (cf. 5)), contradiction.
Ainsi, si A ⊗ B est inversible, alors A et B sont inversibles.
7) Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ).
• Supposons A nilpotente. Il existe k ∈ N ∗ tel que A k = 0 , d'où
(cf. 4)) :
(A ⊗ B) k = A k ⊗ B k = 0 ⊗ B k = 0,
donc A ⊗ B est nilpotente.
• Réciproquement, supposons A ⊗ B nilpotente. Il existe
k ∈ N ∗ tel que (A ⊗ B) k = 0. De 4), on déduit A k ⊗ B k = 0 ,
puis de 5) : A k = 0 ou B k = 0, et donc A ou B est nilpotente.
8) Soient A ∈ M n,n (K ), B ∈ M p, p (K ).
On a :
t (A ⊗ B) =
t



a 11 B . . . a 1n B
. . .
. . .
a n1 B . . . a nn B



=



a 11
t B . . . a n1
t B
. . .
. . .
a 1n t B . . . a nn t B


 = t A ⊗ t B .
En particulier, si A (∈ M n (K )) et B (∈ M p (K )) sont symétriques, alors A ⊗ B (∈ M np (K )) est symétrique.
9) Soient A,A ∈ M n,n (K ), B,B ∈ M p, p (K ).
• S'il existe α ∈ K − {0} tel que A = α A et B =
1
α
A, alors :
A
⊗ B
= (α A) ⊗
1
α
B
= α
1
α
(A ⊗ B) = A ⊗ B.
• Réciproquement, supposons
A = 0 , B = 0, A ⊗ B = A ⊗ B .
On a alors :
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} × {1,. . . ,n } , a i j B = a
i j B .