2) Réciproquement, supposons ρ(A) < 1.
En notant ε =
1
2
1 − ρ(A)
> 0 , d'après 4), il existe une
norme sous-multiplicative || · || sur M n (C) telle que :
||A|| ρ(A) + ε < 1.
Comme :
∀k ∈ N ∗ , ||A k || ||A|| k (ρ(A) + ε) k ,
on conclut :
A k − − →
k∞
0 .
6) 1) Supposons que || · || soit une norme sous-multiplicative.
• D'après 1) a) β) et 3) :
∀k ∈ N, ρ(A) = (ρ(A k ))
1
k ||A k ||
1
k .
• Soit ε > 0 fixé. Notons B =
1
ρ(A) + ε
A.
On a alors (cf. 1) a) α)) :
ρ(B) =
1
ρ(A) + ε
ρ(A) < 1.
D'après 5) : B k − − →
k∞
0.
Il existe donc N ∈ N tel que :
∀k ∈ N, (k > N ⇒ ||B k || < 1 ).
Soit k ∈ N tel que k > N . On a :
||A k ||
1
k = (ρ(A) + ε)||B k ||
1
k < ρ(A) + ε .
On a montré ainsi : ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀k ∈ N,
(k > N ⇒ ρ(A) ||A
k ||
1
k ρ(A) + ε),
et donc : ||A k ||
1
k − − →
k∞
ρ(A) .
2) Soit || · || une norme sur M n (C), non nécessairement sousmultiplicative. Il existe au moins une norme sous-multiplicative N sur M n (C), et || · || et N sont équivalentes. Il existe donc
(α,β) ∈ (R ∗
+ ) 2 tel que :
∀M ∈ M n (C), α N (M) ||M|| β N (M).
D'où, pour A ∈ M n (C) fixée :
∀k ∈ N ∗ , α
1
k
N (A k )
1
k
||A k ||
1
k β
1
k
N (A k )
1
k .
D'après 1),
N (A k )
1
k − − →
k∞
ρ(A). Comme α
1
k − − →
k∞
1 et
β
1
k − − →
k∞
1 , on déduit : ||A k ||
1
k − − →
k∞
ρ(A) .
7) On peut munir M n (C) d'au moins une norme sous-multiplicative || · ||.
D'après 3), et puisque A et B commutent :
ρ(AB) ||(AB)
k ||
1
k = ||A
k B
k ||
1
k ||A
k ||
1
k ||B
k ||
1
k .
319
D'après 6) :
||A k ||
1
k − − →
k∞
ρ(A) et ||B k ||
1
k − − →
k∞
ρ(B).
On déduit :
ρ(AB) ρ(A)ρ(B) .
8) a) Puisque N est une norme sous multiplicative (cf. 2) b),
on a, d'après 3) :
∀k ∈ N, 0 ρ(A k ) N (A k ) .
Comme A k − − →
k∞
0 , par définition N (A k ) − − →
k∞
0, et donc
ρ(A k ) − − →
k∞
0.
b) D'après 1) a) δ) : ∀k ∈ N, ρ(A) = ρ(B k ) ,
et d'après 8) a) : ρ(B k ) − − →
k∞
0, donc : ρ(A) = 0.
Il s'ensuit que A est nilpotente (cf. ex. 3.4.1 p. 105).
9) Notons, pour k ∈ N ∗ :
A k = (a
[k]
i j ) i j , M k = (m
[k]
i j ) i j .
Une récurrence immédiate montre :
∀k ∈ N ∗ , ∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , |a
[k]
i j | m
[k]
i j .
• D'après 6) : ||A k ||
1
k − − →
k∞
ρ(A) et ||M k ||
1
k − − →
k∞
ρ(M).
Mais, pour tout k ∈ N ∗ :
||A
k ||
1
k =
Max
i, j
a
[k]
i j
1
k
Max
i, j
m
[k]
i j
1
k
= ||M
k ||
1
k .
On déduit, en faisant tendre l’entier k vers l’infini :
ρ(A) ρ(M).
I a) Considérons les bases canoniques
B = (E
i j ) (i , j )∈{1,...,n }×{1,..., p } de M n , p (K )
et B = (E i j ) (i, j)∈{1,...,n}×{1,..., p} de M n, p (K ) , ordonnées lexicographiquement, c'est-à-dire :
B
= (E
11 ,. . . ,E
1p ,E
21 ,. . . ,E
2p ,. . . ,E
n 1 ,. . . ,E
n p ),
B = (E 11 ,. . . ,E 1p ,E 21 ,. . . ,E 2p ,. . . ,E n1 ,. . . ,E np ).
Soit (i , j ) ∈ {1,. . . ,n } × {1,. . . , p }. En notant
A = (a i j ) i j , E
i j = (δ i j δ j k ) jk , B = (b lk ) lk , pour tout (i,l) de
{1,. . . ,n} × {1,. . . ,p}, le (i,l) `
eme terme de f A,B (E
i j ) est
n
j=1
p
k=1
a i j δ i j δ j k b lk , c'est-à-dire a ii b l j .
P 3.2