318
b) Avec des notations évidentes :
• N (α A) = Max
i
j
|αa i j |
= |α| Max
i
j
|a i j |
= |α|N (A)
• N (A) = 0 ⇐⇒
∀i,
j
|a i j | = 0
⇐⇒ (∀i,∀ j, a i j = 0) ⇐⇒ A = 0
• N (A + B) = Max
i
j
|a i j + b i j |
Max
i
j
|a i j | +
j
|b i j |
Max
i
j
|a i j |
+ Max
i
j
|b i j |
= N (A) + N (B)
• N (AB) = Max
i
j
k
a ik b k j
Max
i
j
k
|a ik | |b k j |
= Max
i
k
|a ik |
j
|b k j |
Max
i
k
|a ik |N (B)
= N (A)N (B) .
c) Les vérifications sont immédiates :
• ||α A|| P = ||P −1 α AP|| = |α| ||P −1 AP|| = |α| ||A|| P
• ||A|| P = 0 ⇐⇒ P −1 AP = 0 ⇐⇒ A = 0
• ||A + B|| P = ||P −1 AP + P −1 B P||
||P −1 AP|| + ||P −1 B P||
= ||A|| P + ||B|| P
• ||AB|| P = ||P −1 AB P|| = ||P −1 AP P −1 B P||
||P −1 AP|| ||P −1 B P||
= ||A|| P ||B|| P .
3) Soit λ ∈ Sp C (A) . Il existe X ∈ M n,1 (C) − {0} tel que
AX = λX. Notons M = (X,. . . ,X) ∈ M n (C) la matrice carrée obtenue en plaçant côte à côte X n fois. Il est clair qu'alors
AM = λM,
d'où :
|λ| ||M|| = ||λM|| = ||AM|| ||A|| ||M||.
Comme M = 0 (car X = 0), on déduit |λ| ||A||.
Ainsi : ∀λ ∈ Sp C (A), |λ| ||A||, et donc ρ(A) ||A||.
4) D'après le théorème de trigonalisation dans M n (C)
(3.4 Cor. 2) p. 100), il existe
P ∈ GL n (C), T = (t i j ) i j ∈ T n,s (C)
telles que
A = PT P −1 .
Notons, pour u ∈ R ∗
+ , D u = diag(u,u 2 ,. . . ,u n ) .
Il est clair que D u est inversible et D −1
u = D u −1 , d'où :
D u T D −1
u = (u i− j t i j ) i j
=
t 11 u −1 t 12 . . . u 1−n t 1n
t 22
. . .
. . .
0
. . .
t nn
.
Comme, pour tout i de {1,. . . ,n − 1} :
n
j=i+1
u
i− j |t i j | − −−−→
u−→+∞
0 (car les exposants de u qui
interviennent sont tous < 0 ), il existe u ∈ R ∗
+ tel que :
∀i ∈ {1,. . . ,n − 1},
n
j=i+1
|u
i− j t i j | ε.
On a alors :
N (D u T D
−1
u ) = Max
1in
|t ii | +
n
j=i+1
|u
i− j t i j |
Max
1in
(|t ii | + ε)
=
Max
1in
|t ii |
+ ε.
Mais t 11 ,. . . ,t nn sont les vp de T, donc de A, d'où :
Max
1in
|t ii | = ρ(A).
Ainsi :
N (D u T D −1
u ) ρ(A) + ε .
Comme P D −1
u ∈ GL n (C), d'après 2) b) et c), l'application
|| · || : M n (C) −→ R définie par : ∀M ∈ M n (C),
||M|| = N (D u P −1 M P D −1
u )
= N
(P D −1
u ) −1 M(P D −1
u )
est une norme sous-multiplicative sur M n (C).
Et :
||A|| = N (D u P −1 AP D −1
u )= N (D u T D −1
u ) ρ(A) + ε.
5) 1) Supposons A k − − →
k∞
0 .
Soit λ ∈ Sp C (A). Il existe X ∈ M n,1 (C) − {0} tel que
AX = λX.
On a :
∀k ∈ N ∗ , A k X = λ k X.
Comme A k − − →
k∞
0 , on déduit successivement
A k X − − →
k∞
0 , λ k X − − →
k∞
0, λ k − − →
k∞
0
(car X est fixé = 0 ), |λ| < 1.
Ceci prouve : ∀λ ∈ Sp C (A), |λ| < 1,
et donc : ρ(A) < 1.
b) Avec des notations évidentes :
• N (α A) = Max
i
j
|αa i j |
= |α| Max
i
j
|a i j |
= |α|N (A)
• N (A) = 0 ⇐⇒
∀i,
j
|a i j | = 0
⇐⇒ (∀i,∀ j, a i j = 0) ⇐⇒ A = 0
• N (A + B) = Max
i
j
|a i j + b i j |
Max
i
j
|a i j | +
j
|b i j |
Max
i
j
|a i j |
+ Max
i
j
|b i j |
= N (A) + N (B)
• N (AB) = Max
i
j
k
a ik b k j
Max
i
j
k
|a ik | |b k j |
= Max
i
k
|a ik |
j
|b k j |
Max
i
k
|a ik |N (B)
= N (A)N (B) .
c) Les vérifications sont immédiates :
• ||α A|| P = ||P −1 α AP|| = |α| ||P −1 AP|| = |α| ||A|| P
• ||A|| P = 0 ⇐⇒ P −1 AP = 0 ⇐⇒ A = 0
• ||A + B|| P = ||P −1 AP + P −1 B P||
||P −1 AP|| + ||P −1 B P||
= ||A|| P + ||B|| P
• ||AB|| P = ||P −1 AB P|| = ||P −1 AP P −1 B P||
||P −1 AP|| ||P −1 B P||
= ||A|| P ||B|| P .
3) Soit λ ∈ Sp C (A) . Il existe X ∈ M n,1 (C) − {0} tel que
AX = λX. Notons M = (X,. . . ,X) ∈ M n (C) la matrice carrée obtenue en plaçant côte à côte X n fois. Il est clair qu'alors
AM = λM,
d'où :
|λ| ||M|| = ||λM|| = ||AM|| ||A|| ||M||.
Comme M = 0 (car X = 0), on déduit |λ| ||A||.
Ainsi : ∀λ ∈ Sp C (A), |λ| ||A||, et donc ρ(A) ||A||.
4) D'après le théorème de trigonalisation dans M n (C)
(3.4 Cor. 2) p. 100), il existe
P ∈ GL n (C), T = (t i j ) i j ∈ T n,s (C)
telles que
A = PT P −1 .
Notons, pour u ∈ R ∗
+ , D u = diag(u,u 2 ,. . . ,u n ) .
Il est clair que D u est inversible et D −1
u = D u −1 , d'où :
D u T D −1
u = (u i− j t i j ) i j
=
t 11 u −1 t 12 . . . u 1−n t 1n
t 22
. . .
. . .
0
. . .
t nn
.
Comme, pour tout i de {1,. . . ,n − 1} :
n
j=i+1
u
i− j |t i j | − −−−→
u−→+∞
0 (car les exposants de u qui
interviennent sont tous < 0 ), il existe u ∈ R ∗
+ tel que :
∀i ∈ {1,. . . ,n − 1},
n
j=i+1
|u
i− j t i j | ε.
On a alors :
N (D u T D
−1
u ) = Max
1in
|t ii | +
n
j=i+1
|u
i− j t i j |
Max
1in
(|t ii | + ε)
=
Max
1in
|t ii |
+ ε.
Mais t 11 ,. . . ,t nn sont les vp de T, donc de A, d'où :
Max
1in
|t ii | = ρ(A).
Ainsi :
N (D u T D −1
u ) ρ(A) + ε .
Comme P D −1
u ∈ GL n (C), d'après 2) b) et c), l'application
|| · || : M n (C) −→ R définie par : ∀M ∈ M n (C),
||M|| = N (D u P −1 M P D −1
u )
= N
(P D −1
u ) −1 M(P D −1
u )
est une norme sous-multiplicative sur M n (C).
Et :
||A|| = N (D u P −1 AP D −1
u )= N (D u T D −1
u ) ρ(A) + ε.
5) 1) Supposons A k − − →
k∞
0 .
Soit λ ∈ Sp C (A). Il existe X ∈ M n,1 (C) − {0} tel que
AX = λX.
On a :
∀k ∈ N ∗ , A k X = λ k X.
Comme A k − − →
k∞
0 , on déduit successivement
A k X − − →
k∞
0 , λ k X − − →
k∞
0, λ k − − →
k∞
0
(car X est fixé = 0 ), |λ| < 1.
Ceci prouve : ∀λ ∈ Sp C (A), |λ| < 1,
et donc : ρ(A) < 1.