D'où :
(Pu k A k )( f ) = u k Q k A( f ) + P(λ k )u k A k ( f )
= P(λ k )v k
,
et donc :
P( f ) =
p
k=1
Pu k A k
( f ) =
p
k=1
(Pu k A k )( f ) =
p
k=1
P(λ k )v k .
• Puisque A est diagonalisable, il existe un polynôme P scindé
simple de C[X] annulateur de A.
Il existe ν ∈ {0,1} , Q ∈ C[X] tels que : P = X ν Q et
Q(0) = 0. Alors A ν Q(A) = 0 et, par hypothèse,
A ∈ GL n (C), donc Q(A) = 0.
Ceci montre qu'il existe polynôme Q scindé simple de C[X]
annulateur de A et n'ayant pas 0 pour zéro. Il existe α ∈ C ∗ ,
N ∈ N ∗ , z 1 ,. . . ,z N ∈ C ∗ deux à deux distincts tels que
Q = α
N
k=1
(X − z k ).
Notons ω q = exp
2iqπ
p
pour q ∈ {0,. . . , p − 1}
et ζ k une racine p ème de z k pour k ∈ {1,. . . ,N }.
On a : ∀k ∈ {1,. . . ,N }, X
p − z k =
p−1
q=0
(X − ω q ζ k ) ,
d'où :
0 =
N
k=1
(A − z k I n ) =
N
k=1
(B
p − z k I n )
=
N
k=1
p−1
q=0
(B − ω q ζ k I n ).
Comme les ω q ζ k , (q,k) ∈ {0,. . . ,p − 1} × {1,. . . ,N } sont
deux à deux distincts, le polynôme
N
k=1
p−1
q=0
(X − ω q ζ k )
est scindé simple, donc B est diagonalisable.
• Il existe donc P ∈ GL n (C) , D ∈ D n (C) telles que
B = P D P −1 , d'où A = B p = P D p P −1 , et donc A et B sont
simultanément diagonalisables.
1) Montrons qu'il existe k ∈ N ∗ tel que :
∀A ∈ G, A k = I n .
• Soit A ∈ G. Puisque G est fini, l'application N −→ G
p −→ A
p
n'est
pas injective ; il existe donc ( p,q) ∈ N 2 tel que :
p = q et A p = A q .
315
On peut supposer, par exemple, p < q. En notant r = q − p,
on a, puisque A est inversible :
r ∈ N ∗ et A r = I n .
• On vient de prouver :
∀A ∈ G, ∃ r(A) ∈ N ∗ , A r(A) = I n .
Notons k = ppcm{r(A); A ∈ G} ∈ N ∗ (G est fini). Puisque
chaque r(A) divise k, on a :
∀A ∈ G, A k = I n .
2) Le polynôme X k − 1 est scindé simple sur C et annulateur
de chaque élément de G, donc les éléments de G sont diagonalisables.
Puisque les éléments de G sont diagonalisables et commutent
entre eux deux à deux, d'après l'exercice 3.5.12, les éléments
de G sont simultanément diagonalisables.
• Une récurrence immédiate montre :
∀k ∈ N, A k =




A k
1
0
. . .
0
A k
N



 .
• Pour P =
d
k=0
a k X
k , on a alors :
P(A) =
d
k=0




a k A k
1
0
. . .
0
a k A k
N }




=




P(A 1 )
0
. . .
0
P(A N )



 .
Puisque M n (K ) est un K-ev de dimension finie n 2 ,
la famille (I n ,A,A 2 ,. . . ,A n 2 ) est liée et il existe donc
P ∈ K [X] − {0} tel que P(A) = 0
(cf. aussi § 3.5.2 Rem. p. 109).
1) Si P(0) = 0 , en notant P = a 0 + a 1 X + . . . + a N X N
(a 0 = 0) , on a a 0 I n + a 1 A + . . . + a N A N = 0,
d'où :
A −1 = −
1
a 0
(a 1 I n + a 2 A + . . . + a N A N −1 ) .
2) Si P(0) = 0, il existe α ∈ N ∗ (l'ordre de multiplicité de 0
dans P) et Q ∈ K [X] − {0} tels que :
P = X α Q et Q(0) = 0.
Comme A est inversible et que A α Q(A) = 0, on déduit
Q(A) = 0, et on applique 1) à Q au lieu de P.
3.5.17
3.5.16
3.5.14
3.5.15