314
2) Réciproquement, supposons T diagonalisable. D'après l'exercice 3.5.8, T 1 ,. . . ,T N sont diagonalisables. Comme
Sp K (T k ) = {λ k } , on déduit : ∀k ∈ {1,. . . ,N }, T k ∼ λ k I n k et
donc : ∀k ∈ {1,. . . ,N }, T k = λ k I n k .
Puisque f est diagonalisable, il existe un polynôme scindé simple
P de K [X] tel que P( f ) = 0.
Comme : ∀x ∈ E, P( f )(x) = 0, il est clair que :
∀x ∈ F, P( f )(x) = P( f )(x) = 0, et donc P( f ) = 0 .
Puisque f est annulé par un polynôme scindé simple de
K [X], f est diagonalisable.
a) 1) Soit F un sev de E stable par f.
Notons f l'endomorphisme induit par f sur F ; d'après l'exercice 3.5.10, f est diagonalisable, et il est clair que :
Sp K ( f ) ⊂ Sp K ( f ).
Pour chaque i de {1,. . . ,p},
notons N
i = Ker( f − λ i Id F ) , certains N
i pouvant être {0} .
On a : ∀i ∈ {1,. . . ,p}, N
i = N i ∩ F car : ∀x ∈ E,
x ∈ N
i ⇐⇒
x ∈ F
f (x) = λ i x
⇐⇒
x ∈ F
x ∈ N i
⇐⇒x ∈ N i ∩ F
.
Puisque f est diagonalisable :
F =
λ∈Sp K ( f )
SEP( f
,λ) =
p
i=1
N
i .
2) Réciproque immédiate.
3) Supposons que les valeurs propres de f soient toutes simples,
et notons (v 1 ,. . . ,v n ) une base de E formée de vecteurs
propres pour f.
On a alors, avec les notations précédentes :
p = n et : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, N i = K v i ,
et donc :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, (N
i = {0} ou N
i = K v i ).
Il y a alors exactement 2 n sev de E stables par f ; ce sont les
Vect(v i ; i ∈ I ) où I parcourt P({1,. . . ,n}) .
b) Réponse : En notant v 1 = (1 − 1 0) , v 2 = (−1 1 1) ,
v 3 = (0 1 1) , les sev de R 3 stables par f sont :
• {0}
• les trois droites vectorielles engendrées respectivement par
v 1 , v 2 , v 3
• les trois plans vectoriels engendrés respectivement par
(v 1 ,v 2 ), (v 1 ,v 3 ), (v 2 ,v 3 )
• R 3 .
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour tout p de {1,. . . ,n}, et soient E un Kev de dimension finie n + 1, I un ensemble non vide, ( f i ) i∈I
une famille d'endomorphismes diagonalisables de E et commutant deux à deux.
L'étude du cas où tous les f i sont des homothéties est immédiate.
Supposons qu'il existe i 0 ∈ I tel que f i 0 ne soit pas une homothétie.
Notons {λ 1 ,. . . ,λ r } = Sp K ( f i 0 ) , et E k = SEP( f i 0 ,λ k ) pour
1 k r. Puisque f i 0 n'est pas une homothétie et que f i 0 est
diagonalisable, on a r 2 et donc :
∀k ∈ {1,. . . ,r}, 1 dim(E k ) n.
Soient i ∈ I, k ∈ {1,. . . ,r} ; montrons que E k est stable
par f i . Soit x ∈ E k ; on a :
f i 0
f i (x)
= ( f i 0 ◦ f i )(x) = ( f i ◦ f i 0 )(x)
= f i (λ k x) = λ k f i (x),
donc f i (x) ∈ E k .
Notons, pour i ∈ I et k ∈ {1,. . . ,r}, f i,k l'endomorphisme induit par f i sur E k .
Soit k ∈ {1,. . . ,r}.
• Pour chaque i de I, puisque f i est diagonalisable, f i,k est diagonalisable (cf. exercice 3.5.10)
• Les f i,k (i ∈ I ) commutent deux à deux puisque les f i le font.
On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence à la famille
( f i,k ) i∈I . Il existe donc une base B k de E k telle que :
∀i ∈ I, Mat B k ( f i,k ) ∈ D dim(E k ) (K ) .
Alors B = B 1 ∪ . . . ∪ B r est une base de E et : ∀i ∈ I,
Mat B ( f i ) =
Mat B 1 ( f i,1 )
0
. . .
0
Mat Br ( f i,r )
∈ D n+1 (K ).
Notons A =
p
k=1
(X − λ k ) et, pour tout k de {1,. . . ,p},
A k =
1 j p
j =k
(X − λ j ) .
Comme dans la preuve du Théorème p. 111, en notant
u k =
1
A k (λ k )
, on a :
p
k=1
u k A k = 1.
Notons, pour tout k de {1,. . . ,p}, v k = u k A k ( f ) .
Soit P ∈ K [X]. Par division euclidienne de P par X − λ k , il
existe Q k ∈ K [X] tel que :
P = (X − λ k )Q k + P(λ k ).
3.5.11
3.5.10
3.5.12
3.5.13
2) Réciproquement, supposons T diagonalisable. D'après l'exercice 3.5.8, T 1 ,. . . ,T N sont diagonalisables. Comme
Sp K (T k ) = {λ k } , on déduit : ∀k ∈ {1,. . . ,N }, T k ∼ λ k I n k et
donc : ∀k ∈ {1,. . . ,N }, T k = λ k I n k .
Puisque f est diagonalisable, il existe un polynôme scindé simple
P de K [X] tel que P( f ) = 0.
Comme : ∀x ∈ E, P( f )(x) = 0, il est clair que :
∀x ∈ F, P( f )(x) = P( f )(x) = 0, et donc P( f ) = 0 .
Puisque f est annulé par un polynôme scindé simple de
K [X], f est diagonalisable.
a) 1) Soit F un sev de E stable par f.
Notons f l'endomorphisme induit par f sur F ; d'après l'exercice 3.5.10, f est diagonalisable, et il est clair que :
Sp K ( f ) ⊂ Sp K ( f ).
Pour chaque i de {1,. . . ,p},
notons N
i = Ker( f − λ i Id F ) , certains N
i pouvant être {0} .
On a : ∀i ∈ {1,. . . ,p}, N
i = N i ∩ F car : ∀x ∈ E,
x ∈ N
i ⇐⇒
x ∈ F
f (x) = λ i x
⇐⇒
x ∈ F
x ∈ N i
⇐⇒x ∈ N i ∩ F
.
Puisque f est diagonalisable :
F =
λ∈Sp K ( f )
SEP( f
,λ) =
p
i=1
N
i .
2) Réciproque immédiate.
3) Supposons que les valeurs propres de f soient toutes simples,
et notons (v 1 ,. . . ,v n ) une base de E formée de vecteurs
propres pour f.
On a alors, avec les notations précédentes :
p = n et : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, N i = K v i ,
et donc :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, (N
i = {0} ou N
i = K v i ).
Il y a alors exactement 2 n sev de E stables par f ; ce sont les
Vect(v i ; i ∈ I ) où I parcourt P({1,. . . ,n}) .
b) Réponse : En notant v 1 = (1 − 1 0) , v 2 = (−1 1 1) ,
v 3 = (0 1 1) , les sev de R 3 stables par f sont :
• {0}
• les trois droites vectorielles engendrées respectivement par
v 1 , v 2 , v 3
• les trois plans vectoriels engendrés respectivement par
(v 1 ,v 2 ), (v 1 ,v 3 ), (v 2 ,v 3 )
• R 3 .
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour tout p de {1,. . . ,n}, et soient E un Kev de dimension finie n + 1, I un ensemble non vide, ( f i ) i∈I
une famille d'endomorphismes diagonalisables de E et commutant deux à deux.
L'étude du cas où tous les f i sont des homothéties est immédiate.
Supposons qu'il existe i 0 ∈ I tel que f i 0 ne soit pas une homothétie.
Notons {λ 1 ,. . . ,λ r } = Sp K ( f i 0 ) , et E k = SEP( f i 0 ,λ k ) pour
1 k r. Puisque f i 0 n'est pas une homothétie et que f i 0 est
diagonalisable, on a r 2 et donc :
∀k ∈ {1,. . . ,r}, 1 dim(E k ) n.
Soient i ∈ I, k ∈ {1,. . . ,r} ; montrons que E k est stable
par f i . Soit x ∈ E k ; on a :
f i 0
f i (x)
= ( f i 0 ◦ f i )(x) = ( f i ◦ f i 0 )(x)
= f i (λ k x) = λ k f i (x),
donc f i (x) ∈ E k .
Notons, pour i ∈ I et k ∈ {1,. . . ,r}, f i,k l'endomorphisme induit par f i sur E k .
Soit k ∈ {1,. . . ,r}.
• Pour chaque i de I, puisque f i est diagonalisable, f i,k est diagonalisable (cf. exercice 3.5.10)
• Les f i,k (i ∈ I ) commutent deux à deux puisque les f i le font.
On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence à la famille
( f i,k ) i∈I . Il existe donc une base B k de E k telle que :
∀i ∈ I, Mat B k ( f i,k ) ∈ D dim(E k ) (K ) .
Alors B = B 1 ∪ . . . ∪ B r est une base de E et : ∀i ∈ I,
Mat B ( f i ) =
Mat B 1 ( f i,1 )
0
. . .
0
Mat Br ( f i,r )
∈ D n+1 (K ).
Notons A =
p
k=1
(X − λ k ) et, pour tout k de {1,. . . ,p},
A k =
1 j p
j =k
(X − λ j ) .
Comme dans la preuve du Théorème p. 111, en notant
u k =
1
A k (λ k )
, on a :
p
k=1
u k A k = 1.
Notons, pour tout k de {1,. . . ,p}, v k = u k A k ( f ) .
Soit P ∈ K [X]. Par division euclidienne de P par X − λ k , il
existe Q k ∈ K [X] tel que :
P = (X − λ k )Q k + P(λ k ).
3.5.11
3.5.10
3.5.12
3.5.13