Puisque A(A − iI 3 )(A + iI 3 ) = 0, A annule un polynôme
scindé simple de C[X], donc A est diagonalisable dans M 3 (C)
et Sp C (A) ⊂ {0,i,−i}.
Si Sp C (A) = {0}, alors, comme A est diagonalisable dans
M 3 (C), A = 0 , exclu.
Si i ∈ Sp C (A) et V ∈ SEP(A,i) , alors −i ∈ Sp C (A) et
V ∈ SEP(A,−i) car : A V = AV = iV = −iV et V = 0.
De même en échangeant i et −i.
Donc : {i,−i} ⊂ Sp C (A).
Enfin, si 0 ∈ Sp C (A), alors A 2 + I 3 = 0 ,
d'où
(det(A)) 2 = det(A 2 ) = det(−I 3 ) = −1 ,
contradiction car det(A) ∈ R .
Ainsi, Sp C (A) = {0,i,−i} et chaque SEP est de dimension 1
(sur C ).
Notons U,V,V des vecteurs propres respectivement associés
à 0, i, −i, et W 1 =
1
2
(V + V ) , W 2 =
1
2i
(V − V ). Vérifier que
(U,W 1 ,W 2 ) est une base de M 3,1 (R) .
De plus :
AU = 0, AW 1 =
1
2
(iV − iV ) = −W 2
et
AW 2 =
1
2i
(iV + iV ) = W 1 .
En notant P la matrice de passage de la base canonique de
M 3,1 (R) à la base (U,W 1 ,W 2 ) , on a :
A = P
0
0 0
0
0 1
0 −1 0
P −1 .
Remarquer f 2 = Id M n (R) .
Réponse :
• Sp R ( f ) = {−1,1}
• SEP( f,−1) = A n (R) , SEP( f,1) = S n (R)
• f est diagonalisable.
Montrer que P = X 3 − X − 1 admet un zéro réel et un seul,
noté x 0 (étudier les variations de P) et deux zéros complexes
conjugués non réels z 0 , z 0 ; montrer x 0 > 0.
Notons ω 1 l'ordre de multiplicité de la vp x 0 de A (si x 0 n'est
pas vp, on note ω 1 = 0), ω 2 celui de z 0 (ω 2 ∈ N), celui de z 0
étant alors aussi ω 2 .
En notant D = diag(x 0 ,. . . ,x 0
ω 1
,z 0 ,. . . ,z 0
ω 2
,z 0 ,. . . ,z 0
ω 2
) ,
on a alors :
det(A) = det(D) = x
ω 1
0 z
ω 2
0 (z 0 ) ω 2 = x
ω 1
0 |z 0 | 2ω 2 > 0.
313
Factoriser : X 4 − 7X 3 + 12X 2 = X 2 (X − 3)(X − 4) .
Puisque A ∈ M n (C), χ A est scindé sur C , donc, en notant
λ 1 ,. . . ,λ n les zéros de χ A : tr(A) =
n
i=1
λ i .
D'autre part : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i ∈ {0,3,4}.
On en déduit : tr(A) ∈ N et tr(A) 4n.
Factoriser X 3 − X 2 = X 2 (X − 1).
Le polynôme χ A est scindé sur C et, en notant
χ A = (−1)
n
n
i=1
(X − λ i ) , on a :
tr(A) =
n
i=1
λ i
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i ∈ {0,1}.
Comme tr(A) = n, on déduit (∀i ∈ {1,. . . ,n} , λ i = 1). Ceci
montre que A est inversible, et finalement, comme A 3 = A 2 ,
on conclut A = I n .
1) Supposons A 1 ,. . . ,A N diagonalisables.
Il existe P 1 ∈ GL n 1 (K ),. . . ,P N ∈ GL n N (K ) ,
D 1 ∈ D n 1 (K ), . . . ,D N ∈ D n N (K ) telles que :
∀i ∈ {1,. . . ,N }, A i = P i D i P
−1
i .
En notant P =
P 1
0
. . .
0
P N
,
D =
D 1
0
. . .
0
D N
, n = n 1 + . . . + n N ,
il est clair que :
P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ) , A = P D P −1 ,
et donc A est diagonalisable.
2) Réciproquement, supposons A diagonalisable.
Il existe P ∈ K [X], scindé simple, tel que P(A) = 0.
Comme P(A) =
P(A 1 )
0
. . .
0
P(A N )
, on déduit
P(A 1 ) = . . . = P(A N ) = 0, où P est scindé simple, et donc
A 1 ,. . . ,A N sont diagonalisables.
1) Il est clair que, si (∀k ∈ {1,. . . ,N } , T k = λ k I n k ), alors T est
diagonale, donc diagonalisable.
3.5.4
3.5.5
3.5.3
3.5.6
3.5.7
3.5.8
3.5.9
scindé simple de C[X], donc A est diagonalisable dans M 3 (C)
et Sp C (A) ⊂ {0,i,−i}.
Si Sp C (A) = {0}, alors, comme A est diagonalisable dans
M 3 (C), A = 0 , exclu.
Si i ∈ Sp C (A) et V ∈ SEP(A,i) , alors −i ∈ Sp C (A) et
V ∈ SEP(A,−i) car : A V = AV = iV = −iV et V = 0.
De même en échangeant i et −i.
Donc : {i,−i} ⊂ Sp C (A).
Enfin, si 0 ∈ Sp C (A), alors A 2 + I 3 = 0 ,
d'où
(det(A)) 2 = det(A 2 ) = det(−I 3 ) = −1 ,
contradiction car det(A) ∈ R .
Ainsi, Sp C (A) = {0,i,−i} et chaque SEP est de dimension 1
(sur C ).
Notons U,V,V des vecteurs propres respectivement associés
à 0, i, −i, et W 1 =
1
2
(V + V ) , W 2 =
1
2i
(V − V ). Vérifier que
(U,W 1 ,W 2 ) est une base de M 3,1 (R) .
De plus :
AU = 0, AW 1 =
1
2
(iV − iV ) = −W 2
et
AW 2 =
1
2i
(iV + iV ) = W 1 .
En notant P la matrice de passage de la base canonique de
M 3,1 (R) à la base (U,W 1 ,W 2 ) , on a :
A = P
0
0 0
0
0 1
0 −1 0
P −1 .
Remarquer f 2 = Id M n (R) .
Réponse :
• Sp R ( f ) = {−1,1}
• SEP( f,−1) = A n (R) , SEP( f,1) = S n (R)
• f est diagonalisable.
Montrer que P = X 3 − X − 1 admet un zéro réel et un seul,
noté x 0 (étudier les variations de P) et deux zéros complexes
conjugués non réels z 0 , z 0 ; montrer x 0 > 0.
Notons ω 1 l'ordre de multiplicité de la vp x 0 de A (si x 0 n'est
pas vp, on note ω 1 = 0), ω 2 celui de z 0 (ω 2 ∈ N), celui de z 0
étant alors aussi ω 2 .
En notant D = diag(x 0 ,. . . ,x 0
ω 1
,z 0 ,. . . ,z 0
ω 2
,z 0 ,. . . ,z 0
ω 2
) ,
on a alors :
det(A) = det(D) = x
ω 1
0 z
ω 2
0 (z 0 ) ω 2 = x
ω 1
0 |z 0 | 2ω 2 > 0.
313
Factoriser : X 4 − 7X 3 + 12X 2 = X 2 (X − 3)(X − 4) .
Puisque A ∈ M n (C), χ A est scindé sur C , donc, en notant
λ 1 ,. . . ,λ n les zéros de χ A : tr(A) =
n
i=1
λ i .
D'autre part : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i ∈ {0,3,4}.
On en déduit : tr(A) ∈ N et tr(A) 4n.
Factoriser X 3 − X 2 = X 2 (X − 1).
Le polynôme χ A est scindé sur C et, en notant
χ A = (−1)
n
n
i=1
(X − λ i ) , on a :
tr(A) =
n
i=1
λ i
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i ∈ {0,1}.
Comme tr(A) = n, on déduit (∀i ∈ {1,. . . ,n} , λ i = 1). Ceci
montre que A est inversible, et finalement, comme A 3 = A 2 ,
on conclut A = I n .
1) Supposons A 1 ,. . . ,A N diagonalisables.
Il existe P 1 ∈ GL n 1 (K ),. . . ,P N ∈ GL n N (K ) ,
D 1 ∈ D n 1 (K ), . . . ,D N ∈ D n N (K ) telles que :
∀i ∈ {1,. . . ,N }, A i = P i D i P
−1
i .
En notant P =
P 1
0
. . .
0
P N
,
D =
D 1
0
. . .
0
D N
, n = n 1 + . . . + n N ,
il est clair que :
P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ) , A = P D P −1 ,
et donc A est diagonalisable.
2) Réciproquement, supposons A diagonalisable.
Il existe P ∈ K [X], scindé simple, tel que P(A) = 0.
Comme P(A) =
P(A 1 )
0
. . .
0
P(A N )
, on déduit
P(A 1 ) = . . . = P(A N ) = 0, où P est scindé simple, et donc
A 1 ,. . . ,A N sont diagonalisables.
1) Il est clair que, si (∀k ∈ {1,. . . ,N } , T k = λ k I n k ), alors T est
diagonale, donc diagonalisable.
3.5.4
3.5.5
3.5.3
3.5.6
3.5.7
3.5.8
3.5.9