316
Les polynômes caractéristiques χ A 1 ,. . . ,χ A N sont scindés sur
C et, puisque A 1 ,. . . ,A N n'ont, deux à deux, aucune vp commune, χ A 1 ,. . . ,χ A N sont premiers entre eux deux à deux.
Notons, pour i ∈ {1,. . . ,N }, Q i =
1 jN
j =i
χ A j .
D'après le théorème de Cayley et Hamilton :
∀ j ∈ {1,. . . ,N } , χ A j (A j ) = 0,
d'où :
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,N } 2 , (i = j ⇒ Q i (A j ) = 0).
Montrer que Q 1 ,. . . ,Q N sont premiers entre eux dans leur ensemble (cf. aussi § 3.5.2 preuve du Th. p. 111). D'après le théorème de Bezout, il existe U 1 ,. . . ,U N ∈ C[X] tels que
N
i=1
U i Q i = 1.
Notons P =
N
i=1
U i Q i P i . Soit j ∈ {1,. . . ,N } . On a :
• P(A j ) =
N
i=1
U i (A j )Q i (A j )P i (A j )
= U j (A j )Q j (A j )P j (A j )
•
I n =
N
i=1
U i Q i
(A j )
=
N
i=1
U i (A j )Q i (A j ) = U j (A j )Q j (A j )
.
Finalement : P(A j ) = P j (A j ).
a) Soit A ∈ E. Il existe
P ∈ GL n (C),D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (C)
telles que A = P D P −1 . On a :
χ A (A) = Pχ A (D)P −1 ,
et :
χ A (D) =
n
i=1
(λ i I n − D)
=
n
i=1
(λ i − λ 1 )
0
. . .
0
n
i=1
(λ i − λ n )
= 0.
Cf. aussi § 3.5.2 preuve du Th. p. 111.
b) Considérons f : M n (C) −→ M n (C)
A −→ χ A (A)
. Par définition de χ A ,
les coefficients de χ A sont des polynômes en les termes de A.
Il en résulte que les termes de f (A) sont des polynômes en les
termes de A, donc f est continue sur M n (C). Comme E est
dense dans M n (C) et que f s'annule sur E , on conclut :
∀A ∈ M n (C), χ A (A) = f (A) = 0 .
a) D'après le théorème de d'Alembert, χ A est scindé dans C[X] ;
il existe (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ C n tel que
χ A =
n
i=1
(λ i − X) ,
d'où :
χ A (B) =
n
i=1
(λ i I n − B) .
Alors :
χ A (B) ∈GL n (C)
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i I n − B ∈ GL n (C)
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i ∈ Sp C (B)
⇐⇒ Sp C (A) ∩ Sp C (B) = ∅.
b) Soit X ∈ M n (C) tel que AX = X B. Une récurrence
immédiate montre :
∀k ∈ N, A k X = X B k ,
d'où, par linéarité :
∀P ∈ C[X], P(A)X = X P(B) .
En particulier :
χ A (A)X = Xχ A (B).
D'après le théorème de Cayley et Hamilton, χ A (A) = 0 ; et
d'après a), χ A (B) est inversible. On déduit : X = 0.
c) L'application
φ : M n (C) −→ M n (C)
X −→ AX − X B
est linéaire, injective (cf. b)) et M n (C) est de dimension finie,
donc φ est bijective.
• Former χ A et calculer les SEP.
On en déduit que A est diagonalisable. On obtient A = P D P −1
où, par exemple :
P =
1 1 1 1
−1 1 0 0
−1 0 1 0
−1 0 0 1
, D =
−2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
,
P −1 =
1
4
1 −1 −1 −1
1
3 −1 −1
1 −1
3 −1
1 −1 −1
3
.
• On a donc :
∀n ∈ N ∗ , A n = P D n P −1 .
Comme 0 ∈ Sp R (A), A est inversible. En déduire que la formule A n = P D n P −1 est valable pour tout n de Z.
Réponse :
A
n = 2
n−2
3 + (−1) n
1 − (−1) n
1 − (−1) n
1 − (−1) n
1 − (−1) n
3 + (−1) n
−1 + (−1) n −1 + (−1) n
1 − (−1) n −1 + (−1) n
3 + (−1) n
−1 + (−1) n
1 − (−1) n −1 + (−1) n −1 + (−1) n
3 + (−1) n
.
3.5.20
3.6.1
3.5.18
3.5.19
Les polynômes caractéristiques χ A 1 ,. . . ,χ A N sont scindés sur
C et, puisque A 1 ,. . . ,A N n'ont, deux à deux, aucune vp commune, χ A 1 ,. . . ,χ A N sont premiers entre eux deux à deux.
Notons, pour i ∈ {1,. . . ,N }, Q i =
1 jN
j =i
χ A j .
D'après le théorème de Cayley et Hamilton :
∀ j ∈ {1,. . . ,N } , χ A j (A j ) = 0,
d'où :
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,N } 2 , (i = j ⇒ Q i (A j ) = 0).
Montrer que Q 1 ,. . . ,Q N sont premiers entre eux dans leur ensemble (cf. aussi § 3.5.2 preuve du Th. p. 111). D'après le théorème de Bezout, il existe U 1 ,. . . ,U N ∈ C[X] tels que
N
i=1
U i Q i = 1.
Notons P =
N
i=1
U i Q i P i . Soit j ∈ {1,. . . ,N } . On a :
• P(A j ) =
N
i=1
U i (A j )Q i (A j )P i (A j )
= U j (A j )Q j (A j )P j (A j )
•
I n =
N
i=1
U i Q i
(A j )
=
N
i=1
U i (A j )Q i (A j ) = U j (A j )Q j (A j )
.
Finalement : P(A j ) = P j (A j ).
a) Soit A ∈ E. Il existe
P ∈ GL n (C),D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (C)
telles que A = P D P −1 . On a :
χ A (A) = Pχ A (D)P −1 ,
et :
χ A (D) =
n
i=1
(λ i I n − D)
=
n
i=1
(λ i − λ 1 )
0
. . .
0
n
i=1
(λ i − λ n )
= 0.
Cf. aussi § 3.5.2 preuve du Th. p. 111.
b) Considérons f : M n (C) −→ M n (C)
A −→ χ A (A)
. Par définition de χ A ,
les coefficients de χ A sont des polynômes en les termes de A.
Il en résulte que les termes de f (A) sont des polynômes en les
termes de A, donc f est continue sur M n (C). Comme E est
dense dans M n (C) et que f s'annule sur E , on conclut :
∀A ∈ M n (C), χ A (A) = f (A) = 0 .
a) D'après le théorème de d'Alembert, χ A est scindé dans C[X] ;
il existe (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ C n tel que
χ A =
n
i=1
(λ i − X) ,
d'où :
χ A (B) =
n
i=1
(λ i I n − B) .
Alors :
χ A (B) ∈GL n (C)
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i I n − B ∈ GL n (C)
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i ∈ Sp C (B)
⇐⇒ Sp C (A) ∩ Sp C (B) = ∅.
b) Soit X ∈ M n (C) tel que AX = X B. Une récurrence
immédiate montre :
∀k ∈ N, A k X = X B k ,
d'où, par linéarité :
∀P ∈ C[X], P(A)X = X P(B) .
En particulier :
χ A (A)X = Xχ A (B).
D'après le théorème de Cayley et Hamilton, χ A (A) = 0 ; et
d'après a), χ A (B) est inversible. On déduit : X = 0.
c) L'application
φ : M n (C) −→ M n (C)
X −→ AX − X B
est linéaire, injective (cf. b)) et M n (C) est de dimension finie,
donc φ est bijective.
• Former χ A et calculer les SEP.
On en déduit que A est diagonalisable. On obtient A = P D P −1
où, par exemple :
P =
1 1 1 1
−1 1 0 0
−1 0 1 0
−1 0 0 1
, D =
−2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
,
P −1 =
1
4
1 −1 −1 −1
1
3 −1 −1
1 −1
3 −1
1 −1 −1
3
.
• On a donc :
∀n ∈ N ∗ , A n = P D n P −1 .
Comme 0 ∈ Sp R (A), A est inversible. En déduire que la formule A n = P D n P −1 est valable pour tout n de Z.
Réponse :
A
n = 2
n−2
3 + (−1) n
1 − (−1) n
1 − (−1) n
1 − (−1) n
1 − (−1) n
3 + (−1) n
−1 + (−1) n −1 + (−1) n
1 − (−1) n −1 + (−1) n
3 + (−1) n
−1 + (−1) n
1 − (−1) n −1 + (−1) n −1 + (−1) n
3 + (−1) n
.
3.5.20
3.6.1
3.5.18
3.5.19