Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
18
2) Changement de base pour la dualité
Proposition 4 Changement de base pour la dualité
Soient B, B deux bases de E, P la matrice de passage de B à B . Alors la matrice de
passage de B ∗ à B ∗ est
t P −1 .
Preuve
Notons B = (e 1 ,...,e n ) , B = ( f 1 ,..., f n ) , P = ( p i j ) i j la matrice de passage de B à B , Q = (q i j ) i j
la matrice de passage de B ∗ à B ∗ . On a, pour tout (j, k) de {1,...,n} 2 :
δ jk = f
∗
j ( f k ) =
n
i=1
q i j e
∗
i
n
l=1
p lk e l
=
n
i=1
n
l=1
q i j p lk δ il =
n
i=1
q i j p ik .
Ceci montre : t Q P = I n , donc Q = t P −1 .
Exemples :
1) Montrer que les vecteurs V 1 = (2,1,4) , V 2 = (3,2,3) , V 3 = (−1,−1,2) de R
3 forment
une base et en déterminer la base duale.
Puisque P =
2 3 −1
1 2 −1
4 3
2
est inversible, B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) est une base de R 3 et, en
notant B 0 = (e 1 ,e 2 ,e 3 ) la base canonique de R 3 , la matrice de passage de B ∗
0 = (e ∗
1 ,e ∗
2 ,e ∗
3 )
à B ∗ = (V ∗
1 ,V ∗
2 ,V ∗
3 ) est t P −1 =
7 −6 −5
−9
8
6
−1
1
1
.
On a donc : V
∗
1 = 7e
∗
1 − 9e
∗
2 − e
∗
3 , V
∗
2 = −6e
∗
1 + 8e
∗
2 + e
∗
3 , V
∗
3 = −5e
∗
1 + 6e
∗
2 + e
∗
3 .
On conclut que V ∗
1 , V ∗
2 , V ∗
3 sont les formes linéaires sur R 3 définies par :
∀ (x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R 3 ,
V ∗
1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 7x 1 − 9x 2 − x 3
V ∗
2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = −6x 1 + 8x 2 + x 3
V ∗
3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = −5x 1 + 6x 2 + x 3
.
2) Polynômes d'interpolation de Lagrange
Soient n ∈ N
∗ , x 0 , …, x n ∈ K deux à deux distincts.
Pour chaque i de {0,...,n}, notons L i =
1
0 jn
j =i
(x i − x j )
0 jn
j =i
(X − x j )
Montrer que (L 0 , …, L n ) est une base de K n [X] (K-ev des polynômes de K [X] de degré
n), et en déterminer la base duale.
• Soit (λ 0 , …, λ n ) ∈ K n+1 tel que
n
i=0
λ i L i = 0.
On a : ∀ j ∈ {0,...,n}, 0 =
n
i=0
λ i L i
(x j ) =
n
i=0
λ i L i (x j ) = λ j .
Ceci montre que (L 0 , ..., L n ) est libre.
Comme dim(K n [X]) = n + 1, on en déduit que (L 0 , ..., L n ) est une base de K n [X].
Formule utile pour les exercices, mais
qui n’est pas au programme.
On utilise : e ∗
i (e l ) = δ il .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exemple de recherche de la base duale
d’une base donnée de E.
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Gé
ométrie Monier
Pour montrer que P est inversible, on
peut, par exemple, montrer
det(P) = 0.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Utilisation de la Prop. 3.
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ométrie Monier
Rappelons que, par définition :
e ∗
1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1
e ∗
2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 2
e ∗
3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 3
.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 5.3.1 Exemple.
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ométrie Monier
Pour chaque i de {0,. . . ,n} , L i est le
polynôme de K [X] de degré n,
s’annulant en x 0 ,. . . x n sauf x i ,
enprenant la valeur 1 en x i .
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On utilise : L i (x j ) = δ i j .
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2) Changement de base pour la dualité
Proposition 4 Changement de base pour la dualité
Soient B, B deux bases de E, P la matrice de passage de B à B . Alors la matrice de
passage de B ∗ à B ∗ est
t P −1 .
Preuve
Notons B = (e 1 ,...,e n ) , B = ( f 1 ,..., f n ) , P = ( p i j ) i j la matrice de passage de B à B , Q = (q i j ) i j
la matrice de passage de B ∗ à B ∗ . On a, pour tout (j, k) de {1,...,n} 2 :
δ jk = f
∗
j ( f k ) =
n
i=1
q i j e
∗
i
n
l=1
p lk e l
=
n
i=1
n
l=1
q i j p lk δ il =
n
i=1
q i j p ik .
Ceci montre : t Q P = I n , donc Q = t P −1 .
Exemples :
1) Montrer que les vecteurs V 1 = (2,1,4) , V 2 = (3,2,3) , V 3 = (−1,−1,2) de R
3 forment
une base et en déterminer la base duale.
Puisque P =
2 3 −1
1 2 −1
4 3
2
est inversible, B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) est une base de R 3 et, en
notant B 0 = (e 1 ,e 2 ,e 3 ) la base canonique de R 3 , la matrice de passage de B ∗
0 = (e ∗
1 ,e ∗
2 ,e ∗
3 )
à B ∗ = (V ∗
1 ,V ∗
2 ,V ∗
3 ) est t P −1 =
7 −6 −5
−9
8
6
−1
1
1
.
On a donc : V
∗
1 = 7e
∗
1 − 9e
∗
2 − e
∗
3 , V
∗
2 = −6e
∗
1 + 8e
∗
2 + e
∗
3 , V
∗
3 = −5e
∗
1 + 6e
∗
2 + e
∗
3 .
On conclut que V ∗
1 , V ∗
2 , V ∗
3 sont les formes linéaires sur R 3 définies par :
∀ (x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R 3 ,
V ∗
1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 7x 1 − 9x 2 − x 3
V ∗
2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = −6x 1 + 8x 2 + x 3
V ∗
3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = −5x 1 + 6x 2 + x 3
.
2) Polynômes d'interpolation de Lagrange
Soient n ∈ N
∗ , x 0 , …, x n ∈ K deux à deux distincts.
Pour chaque i de {0,...,n}, notons L i =
1
0 jn
j =i
(x i − x j )
0 jn
j =i
(X − x j )
Montrer que (L 0 , …, L n ) est une base de K n [X] (K-ev des polynômes de K [X] de degré
n), et en déterminer la base duale.
• Soit (λ 0 , …, λ n ) ∈ K n+1 tel que
n
i=0
λ i L i = 0.
On a : ∀ j ∈ {0,...,n}, 0 =
n
i=0
λ i L i
(x j ) =
n
i=0
λ i L i (x j ) = λ j .
Ceci montre que (L 0 , ..., L n ) est libre.
Comme dim(K n [X]) = n + 1, on en déduit que (L 0 , ..., L n ) est une base de K n [X].
Formule utile pour les exercices, mais
qui n’est pas au programme.
On utilise : e ∗
i (e l ) = δ il .
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d’une base donnée de E.
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Pour montrer que P est inversible, on
peut, par exemple, montrer
det(P) = 0.
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Utilisation de la Prop. 3.
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Rappelons que, par définition :
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1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1
e ∗
2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 2
e ∗
3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 3
.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 5.3.1 Exemple.
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Pour chaque i de {0,. . . ,n} , L i est le
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enprenant la valeur 1 en x i .
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On utilise : L i (x j ) = δ i j .
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