1.3 • Dualité
17
Preuve
D'abord, les e ∗
i (1 i n) sont bien des éléments de E ∗ .
Soient ϕ ∈ E ∗ , (λ 1 , ..., λ n ) ∈ K n . On a :
n
i=1
λ i e
∗
i = ϕ ⇐⇒
∀ j ∈ {1,...,n},
n
i=1
λ i e
∗
i
(e j ) = ϕ(e j )
⇐⇒
∀ j ∈ {1,...,n}, λ j = ϕ(e j )
.
Ceci montre que (e ∗
1 , ..., e ∗
n ) est une base de E ∗ , et de plus : ϕ =
n
i=1
ϕ(e i )e
∗
i .
Le résultat précédent est un cas particulier d’Algèbre PCSI-PTSI, 7.3.2 Prop.
Corollaire
E ∗ est de dimension finie, et dim(E ∗ ) = dim(E).
Proposition 1
Soient B = (e 1 ,...,e n ) une base de E, B ∗ = (e ∗
1 ,...,e ∗
n ) sa duale. On a :
1) ∀ ϕ ∈ E ∗ , ϕ =
n
i=1
ϕ(e i )e
∗
i
2) ∀ x ∈ E, x =
n
i=1
e
∗
i (x)e i .
Preuve
La 1 ère propriété vient d'être montrée, dans la preuve du théorème précédent.
La 2 ème propriété traduit la définition des formes-coordonnées e ∗
1 , …, e ∗
n .
Proposition 2
Soient B une base de E, B ∗ sa duale, x ∈ E, ϕ ∈ E ∗ , X = Mat B (x), U = Mat B ∗ (ϕ).
On a alors : ϕ(x) =
t U X.
Preuve
Notons B = (e 1 ,...,e n ) , B ∗ = (e ∗
1 ,...,e ∗
n ).
Comme ϕ =
n
i=1
ϕ(e i )e
∗
i , on a : U = Mat B ∗ (ϕ) =
ϕ(e 1 )
. . .
ϕ(e n )
.
En notant X =
x 1
. . .
x n
, on a :
ϕ(x) = ϕ
n
i=1
x i e i
=
n
i=1
x i ϕ(e i ) =
ϕ(e 1 ) ... ϕ(e n )
x 1
. . .
x n
= t U X.
Remarque :
La Proposition précédente revient à remarquer qu'en notant B 0 = (1) la base canonique
de K (K-ev de dimension 1), on a :
∀ ϕ ∈ E
∗ , Mat B ∗ (ϕ) = t
Mat B,B 0 (ϕ)
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Cf. 1.3.1 Exemple 1) p. 13.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 1.3.6, 1.3.7.
1) :Expression d’un élément de E ∗ sur
la base B
∗
2) :Expression d’un élément de E sur la
base B.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
t U X est une matrice carrée à un élément,
confondue avec cet élément.
17
Preuve
D'abord, les e ∗
i (1 i n) sont bien des éléments de E ∗ .
Soient ϕ ∈ E ∗ , (λ 1 , ..., λ n ) ∈ K n . On a :
n
i=1
λ i e
∗
i = ϕ ⇐⇒
∀ j ∈ {1,...,n},
n
i=1
λ i e
∗
i
(e j ) = ϕ(e j )
⇐⇒
∀ j ∈ {1,...,n}, λ j = ϕ(e j )
.
Ceci montre que (e ∗
1 , ..., e ∗
n ) est une base de E ∗ , et de plus : ϕ =
n
i=1
ϕ(e i )e
∗
i .
Le résultat précédent est un cas particulier d’Algèbre PCSI-PTSI, 7.3.2 Prop.
Corollaire
E ∗ est de dimension finie, et dim(E ∗ ) = dim(E).
Proposition 1
Soient B = (e 1 ,...,e n ) une base de E, B ∗ = (e ∗
1 ,...,e ∗
n ) sa duale. On a :
1) ∀ ϕ ∈ E ∗ , ϕ =
n
i=1
ϕ(e i )e
∗
i
2) ∀ x ∈ E, x =
n
i=1
e
∗
i (x)e i .
Preuve
La 1 ère propriété vient d'être montrée, dans la preuve du théorème précédent.
La 2 ème propriété traduit la définition des formes-coordonnées e ∗
1 , …, e ∗
n .
Proposition 2
Soient B une base de E, B ∗ sa duale, x ∈ E, ϕ ∈ E ∗ , X = Mat B (x), U = Mat B ∗ (ϕ).
On a alors : ϕ(x) =
t U X.
Preuve
Notons B = (e 1 ,...,e n ) , B ∗ = (e ∗
1 ,...,e ∗
n ).
Comme ϕ =
n
i=1
ϕ(e i )e
∗
i , on a : U = Mat B ∗ (ϕ) =
ϕ(e 1 )
. . .
ϕ(e n )
.
En notant X =
x 1
. . .
x n
, on a :
ϕ(x) = ϕ
n
i=1
x i e i
=
n
i=1
x i ϕ(e i ) =
ϕ(e 1 ) ... ϕ(e n )
x 1
. . .
x n
= t U X.
Remarque :
La Proposition précédente revient à remarquer qu'en notant B 0 = (1) la base canonique
de K (K-ev de dimension 1), on a :
∀ ϕ ∈ E
∗ , Mat B ∗ (ϕ) = t
Mat B,B 0 (ϕ)
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Cf. 1.3.1 Exemple 1) p. 13.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 1.3.6, 1.3.7.
1) :Expression d’un élément de E ∗ sur
la base B
∗
2) :Expression d’un élément de E sur la
base B.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
t U X est une matrice carrée à un élément,
confondue avec cet élément.