Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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1.3.3 Bases duales
Dans ce § 1.3.3, E désigne un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1.
1) Définition et propriétés
Théorème - Définition
Soit B = (e 1 ,...,e n ) une base de E.
On considère, pour chaque i de {1,...,n}, la forme linéaire e ∗
i : E −→ K définie par :
∀ j ∈ {1,...,n}, e
∗
i (e j ) = δ i j =
1 si i = j
0 si i = j
.
La famille (e ∗
1 , ..., e ∗
n ) est une base de E ∗ , appelée base duale de B, et notée B ∗ .
Conseils
Pour montrer un résultat qui s'exprime
grammaticalement par une négation, on
peut essayer de raisonner par l'absurde.
Rappel de notation : R f 0 est la droite
vectorielle engendrée par f 0 .
On considère deux éléments de E 1 qui ne
soient pas dans E 0 et qui forment une
famille libre.
On combine linéairement pour faire disparaître f 0 .
g n'est pas dérivable en 1.
h n'est pas dérivable en −1.
On peut montrer plus généralement, de
façon analogue à ce qui précède, que E 1
n'est pas de codimension finie dans E 0 .
On a : ϕ(1) = 1 = 0, où 1 désigne, selon
le contexte, le réel 1 ou la fonction
constante égale à 1.
Pour toute f ∈ E 1 , f existe et f ∈ E 0 .
• Pour toute g ∈ E 0 , il existe f ∈ E 1 telle
que f = g.
• Pour toute f ∈ E 1 , f est la fonction nulle
si et seulement si f est constante.
On confond ici le réel f (0) et l'application
constante égale à f (0).
Ce résultat peut paraître surprenant, car
E 1 ⊂ E 0 et E 0 est isomorphe à un sev
de E 1 . Mais il ne faut pas oublier qu'il
s'agit ici d'espaces vectoriels de dimension
infinie.
Solution
a) • D'après le Cours, E 0 est un R -ev et E 1 est un sev de E 0 .
• Raisonnons par l'absurde : supposons que E 1 soit un hyperplan de E 0 .
Il existe alors f 0 ∈ E 0 − {0} tel que : E 0 = E 1 ⊕ R f 0 .
Considérons : g : R −→ R
x −→ |x − 1|
et
h : R −→ R
x −→ |x + 1|
.
Il est clair que : g ∈ E 0 , h ∈ E 0 .
Il existe donc g 1 ,h 1 ∈ E 1 , a,b ∈ R tels que :
g = g 1 + a f 0 , h = h 1 + b f 0 .
On déduit : bg − ah = bg 1 − ah 1 .
Si b = 0, alors, comme h,g 1 ,h 1 sont dérivables en 1, par combinaison linéaire,
g =
1
b
(bg 1 − ah 1 + ah) est dérivable en 1, contradiction.
Il s'ensuit b = 0, d'où h = h 1 , contradiction.
On conclut que E 1 n'est pas un hyperplan de E 0 .
b) • L'application ϕ : E 1 −→ R, f −→ ϕ( f ) = f (0) est une forme linéaire et
n'est pas la forme nulle, donc H = Ker (ϕ) est un hyperplan de E 1 .
• Considérons l'application D : E 1 −→ E 0 , f −→ D( f ) = f
.
Il est clair que D est correctement définie, et que D est linéaire.
De plus : Im (D) = E 0 et Ker (D) = R1, sev des applications constantes.
Montrons que H et Ker (D) sont supplémentaires dans E 1 .
* On a H ∩ Ker (D) = {0}, car, pour toute f ∈ H ∩ Ker (D), f est constante et
f (0) = 0, donc f = 0.
* On a H + Ker (D) = E 1 , car, pour toute f ∈ E 1 , f =
f − f (0)
+ f (0) et
f − f (0) ∈ H, f (0) ∈ Ker (D).
Ainsi, H et Ker (D) sont supplémentaires dans E 1 .
D'après le théorème d'isomorphisme appliqué à D, Im (D) est isomorphe à tout
supplémentaire de Ker (D) dans E 1 , donc E 0 est isomorphe à H, qui est un hyperplan de E 1 .
e ∗
i est aussi appelée la i -ème forme
linéaire coordonnée sur la base
B = (e 1 ,. . . ,e n ).
δ i j est appelé le symbole de Kronecker.