1.3 • Dualité
19
• Soit P ∈ K n [X]. Puisque B = (L 0 ,...,L n ) est une base de K n [X], il existe
(α 0 , …, α n ) ∈ K n+1 tel que P =
n
i=0
α i L i .
On a : ∀ j ∈ {0,...,n}, P(x j ) =
n
i=0
α i L i (x j ) = α j ,
donc : P =
n
i=0
P(x i ) L i .
Puis : ∀ i ∈ {0,...,n}, L ∗
i (P) =
n
j=0
P(x j ) L
∗
i (L j ) = P(x i ).
On conclut : pour tout i de {0,...,n}, L ∗
i est l'évaluation en x i , L ∗
i : K n [X] −→ K
P −→ P(x i )
.
Notons β(E)
resp. β(E ∗ )
l'ensemble des bases de E (resp. E ∗ ).
Le Th. - Déf. p. 16 permet de définir une application d : β(E) −→ β(E ∗ )
B −→ B
∗
qui, à chaque base B
de E associe sa base duale B ∗ .
Nous allons montrer que d est une bijection.
a) Le K-ev E admet au moins une base B 0 .
Soit F une base de E ∗ . Notons Q = Pass(B ∗
0 ,F) , P = t Q −1 , B la base de E telle que
Pass(B 0 , B) = P.
D'après la Prop., comme Q = t P −1 , on a : F = B ∗ = d(B) .
Ceci établit que d est surjective.
b) Soient B 1 , B 2 deux bases de E telles que B ∗
1 = B ∗
2 . La matrice de passage P de B 1 à B 2
vérifie t P −1 = I n , donc P = I n , B 2 = B 1 .
Ceci montre que d est injective.
Résumons l'étude :
Proposition – Définition 5
Pour toute base F de E ∗ , il existe une base unique B de E telle que F = B ∗ ; B est
appelée la base préduale (ou : anté-duale, ou : duale) de F, et on dit que B et F
sont des bases duales l'une de l'autre.
Exemple :
On note E = R 3 [X] le R -ev des polynômes de R[X] de degré 3, et ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 les
formes linéaires sur E définies par :
∀ P ∈ E, (ϕ 1 (P) = P(0), ϕ 2 (P) = P(1), ϕ 3 (P) = P
(0), ϕ 4 (P) = P
(1)) .
Vérifier que (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 ) est une base de E
∗ et en déterminer la base préduale.
Notons B 0 = (1,X,X 2 ,X 3 ) la base canonique de E .
Alors : Mat B
∗
0
(ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 ,ϕ 4 ) =
1 1 0 0
0 1 0 0
0 1 2 2
0 1 0 6
est inversible, donc F = (ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 ,ϕ 4 )
est une base de E ∗ .
Rappelons que,dans ce § 1.3.3, E désigne
un K-ev de dimension finie,
n = dim(E) 1.
On utilise : L ∗
i (L j ) = δ i j .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Existence d’au moins une base en
dimension finie, cf. Algèbre PCSI-PTSI,
§ 6.4 Th. - Déf. 1.
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Gé
ométrie Monier
Exemple de recherche de la base
préduale d’une base donnée de E ∗ .
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Pour montrer que cette matrice carrée
d’ordre 4 est inversible, on peut, par
exemple, calculer son déterminant et
montrer que celui-ci n’est pas nul.
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• Soit P ∈ K n [X]. Puisque B = (L 0 ,...,L n ) est une base de K n [X], il existe
(α 0 , …, α n ) ∈ K n+1 tel que P =
n
i=0
α i L i .
On a : ∀ j ∈ {0,...,n}, P(x j ) =
n
i=0
α i L i (x j ) = α j ,
donc : P =
n
i=0
P(x i ) L i .
Puis : ∀ i ∈ {0,...,n}, L ∗
i (P) =
n
j=0
P(x j ) L
∗
i (L j ) = P(x i ).
On conclut : pour tout i de {0,...,n}, L ∗
i est l'évaluation en x i , L ∗
i : K n [X] −→ K
P −→ P(x i )
.
Notons β(E)
resp. β(E ∗ )
l'ensemble des bases de E (resp. E ∗ ).
Le Th. - Déf. p. 16 permet de définir une application d : β(E) −→ β(E ∗ )
B −→ B
∗
qui, à chaque base B
de E associe sa base duale B ∗ .
Nous allons montrer que d est une bijection.
a) Le K-ev E admet au moins une base B 0 .
Soit F une base de E ∗ . Notons Q = Pass(B ∗
0 ,F) , P = t Q −1 , B la base de E telle que
Pass(B 0 , B) = P.
D'après la Prop., comme Q = t P −1 , on a : F = B ∗ = d(B) .
Ceci établit que d est surjective.
b) Soient B 1 , B 2 deux bases de E telles que B ∗
1 = B ∗
2 . La matrice de passage P de B 1 à B 2
vérifie t P −1 = I n , donc P = I n , B 2 = B 1 .
Ceci montre que d est injective.
Résumons l'étude :
Proposition – Définition 5
Pour toute base F de E ∗ , il existe une base unique B de E telle que F = B ∗ ; B est
appelée la base préduale (ou : anté-duale, ou : duale) de F, et on dit que B et F
sont des bases duales l'une de l'autre.
Exemple :
On note E = R 3 [X] le R -ev des polynômes de R[X] de degré 3, et ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 les
formes linéaires sur E définies par :
∀ P ∈ E, (ϕ 1 (P) = P(0), ϕ 2 (P) = P(1), ϕ 3 (P) = P
(0), ϕ 4 (P) = P
(1)) .
Vérifier que (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 ) est une base de E
∗ et en déterminer la base préduale.
Notons B 0 = (1,X,X 2 ,X 3 ) la base canonique de E .
Alors : Mat B
∗
0
(ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 ,ϕ 4 ) =
1 1 0 0
0 1 0 0
0 1 2 2
0 1 0 6
est inversible, donc F = (ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 ,ϕ 4 )
est une base de E ∗ .
Rappelons que,dans ce § 1.3.3, E désigne
un K-ev de dimension finie,
n = dim(E) 1.
On utilise : L ∗
i (L j ) = δ i j .
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Existence d’au moins une base en
dimension finie, cf. Algèbre PCSI-PTSI,
§ 6.4 Th. - Déf. 1.
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préduale d’une base donnée de E ∗ .
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Pour montrer que cette matrice carrée
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exemple, calculer son déterminant et
montrer que celui-ci n’est pas nul.
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