310
• Comme les applications polynomiales χ A+B et χ A coïncident
sur la partie infinie C − Sp C (A), on conclut :
χ A+B = χ A .
On a :
{0}=Ker( f 0 ) ⊂ Ker( f ) ⊂ . . .
⊂ Ker( f
ν−1 ) ⊂ Ker( f
ν ) = E.
Montrer que les inclusions sont strictes.
1) Supposons ν = n. Comme
n−1
i=0
(dim(Ker( f
i+1 )) − dim(Ker( f
i ))) = n ,
il en résulte : ∀i ∈ {0,. . . ,n − 1},
dim(Ker( f i+1 )) = dim(Ker( f i )) + 1 .
En particulier dim(Ker( f )) = 1 et donc (théorème du rang) :
rg( f ) = n − dim(Ker( f )) = n − 1.
2) Réciproquement, supposons rg( f ) = n − 1, c'est-à-dire
(théorème du rang) : dim(Ker( f )) = 1.
• Soit i ∈ {0,. . . ,ν − 1} . Il existe V 1 ∈ Ker( f i+1 ) tel que
V 1 ∈ Ker( f i ) . Soit V ∈ Ker( f i+1 ).
Comme f i+1 (V 1 ) = f i+1 (V ) = 0, on a :
f i (V 1 ) ∈ Ker( f ) et f i (V ) ∈ Ker( f ) .
Puisque dim(Ker( f )) = 1 et f i (V 1 ) = 0, il existe α ∈ K tel
que f i (V ) = α f i (V 1 ).
Ainsi : V = (V − αV 1 ) + αV 1 ∈ Ker( f i ) ⊕ K V 1 .
Ceci montre : dim(Ker( f i+1 )) = dim(Ker( f i )) + 1 .
• En sommant la relation obtenue ci-dessus, pour i de 0 à ν − 1,
on déduit :
dim(Ker( f ν )) = dim(Ker( f 0 )) + ν ,
c'est-à-dire n = ν .
D'après l'ex. 3.2.1 p. 85 : χ g |χ f . Alors :
f trigonalisable ⇒ χ f scindé ⇒ χ g scindé
⇒ g trigonalisable.
a) Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour tout entier n, et soient E un
K-ev de dimension finie n + 1, I un ensemble non vide,
( f i ) i∈I une famille d'endomorphismes trigonalisables de E et
commutant deux à deux. Le cas où tous les f i sont des homothéties est d'étude immédiate. Supposons qu'il existe i 0 ∈ I tel
que f i 0 ne soit pas une homothétie ; f i 0 admet au moins une vp
λ 0 (puisque f i 0 est trigonalisable) et un SEP associé E 0 tel que
1 dim(E 0 ) n .
• Le sev E 0 est stable par chaque f i car, pour tout x de E 0 :
f i 0 ( f i (x)) = f i ( f i 0 (x)) = f i (λ 0 x) = λ 0 f i (x),
donc f i (x) ∈ E 0 .
• Notons, pour i ∈ I, g i l'endomorphisme induit par f i sur E 0 .
D'après l'ex. 3.4.11, g i est trigonalisable. On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence à E 0 et à la famille (g i ) i∈I : les
g i (i ∈ I ) admettent au moins un − →
vp commun x 0 . Il est clair
que x 0 est alors un − →
vp commun à tous les f i .
b) Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour n, et soient E un K-ev de dimension
finie n + 1, I un ensemble non vide, ( f i ) i∈I une famille d'endomorphismes trigonalisables de E et commutant deux à deux.
D'après a), il existe un vecteur propre commun x 0 à tous les
f i , i ∈ I. Puisque x 0 = 0 et que E est de dimension finie, on
peut compléter x 0 en une base de E. Il existe donc une base
B = (e 1 ,...,e n+1 ) de E telle que e n+1 = x 0 .
Notons, pour i ∈ I, A i = Mat B ( f i ).
Il existe B i ∈ M n (K ), L i ∈ M 1,n (K ), λ i ∈ K
tels que :
A i =
λ i L i
0 B i
.
On a, pour tout (i, j) ∈ I 2 :
A i A j =
λ i λ j λ i L j + L i B j
0
B i B j
.
Comme les f i commutent deux à deux, les A i aussi, et donc
les B i aussi.
Soit i ∈ I. On a :
χ A i (X) = (X − λ i )χ B i (X).
Comme A i est trigonalisable, χ A i est scindé sur K, donc χ B i
aussi, et par conséquent, B i est trigonalisable. (On peut aussi
appliquer l'exercice 3.4.11, matriciellement, à t A i ).
D'après l'hypothèse de récurrence, appliquée matriciellement,
il existe P ∈ GL n (K ) (ne dépendant pas de i), T i ∈ T n,s (K )
telles que : B i = PT i P −1 .
En notant Q =
1 0
0 P
et U i =
λ i L i P
0
T i
,
on a Q ∈ GL n+1 (K ), U i ∈ T n+1,s (K ), et :
QU i Q
−1 =
λ i
L i
0 PT i P −1
=
λ i L i
0 B i
= A i .
Ceci montre qu'il existe une base de E dans laquelle les matrices des f i sont toutes trigonales.
Remarque : Si n 2 , il se peut que deux endomorphismes de
E soient simultanément trigonalisables sans commuter, comme
le montre l'exemple A =
0 1
0 0
, B =
0 0
0 1
, pour lequel
on a :
AB =
0 1
0 0
=
0 0
0 0
= B A.
D'après l'exercice 3.4.11, comme A et B sont trigonalisables
et commutent, il existe
3.4.12
3.4.9
3.4.10
3.4.11
• Comme les applications polynomiales χ A+B et χ A coïncident
sur la partie infinie C − Sp C (A), on conclut :
χ A+B = χ A .
On a :
{0}=Ker( f 0 ) ⊂ Ker( f ) ⊂ . . .
⊂ Ker( f
ν−1 ) ⊂ Ker( f
ν ) = E.
Montrer que les inclusions sont strictes.
1) Supposons ν = n. Comme
n−1
i=0
(dim(Ker( f
i+1 )) − dim(Ker( f
i ))) = n ,
il en résulte : ∀i ∈ {0,. . . ,n − 1},
dim(Ker( f i+1 )) = dim(Ker( f i )) + 1 .
En particulier dim(Ker( f )) = 1 et donc (théorème du rang) :
rg( f ) = n − dim(Ker( f )) = n − 1.
2) Réciproquement, supposons rg( f ) = n − 1, c'est-à-dire
(théorème du rang) : dim(Ker( f )) = 1.
• Soit i ∈ {0,. . . ,ν − 1} . Il existe V 1 ∈ Ker( f i+1 ) tel que
V 1 ∈ Ker( f i ) . Soit V ∈ Ker( f i+1 ).
Comme f i+1 (V 1 ) = f i+1 (V ) = 0, on a :
f i (V 1 ) ∈ Ker( f ) et f i (V ) ∈ Ker( f ) .
Puisque dim(Ker( f )) = 1 et f i (V 1 ) = 0, il existe α ∈ K tel
que f i (V ) = α f i (V 1 ).
Ainsi : V = (V − αV 1 ) + αV 1 ∈ Ker( f i ) ⊕ K V 1 .
Ceci montre : dim(Ker( f i+1 )) = dim(Ker( f i )) + 1 .
• En sommant la relation obtenue ci-dessus, pour i de 0 à ν − 1,
on déduit :
dim(Ker( f ν )) = dim(Ker( f 0 )) + ν ,
c'est-à-dire n = ν .
D'après l'ex. 3.2.1 p. 85 : χ g |χ f . Alors :
f trigonalisable ⇒ χ f scindé ⇒ χ g scindé
⇒ g trigonalisable.
a) Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour tout entier n, et soient E un
K-ev de dimension finie n + 1, I un ensemble non vide,
( f i ) i∈I une famille d'endomorphismes trigonalisables de E et
commutant deux à deux. Le cas où tous les f i sont des homothéties est d'étude immédiate. Supposons qu'il existe i 0 ∈ I tel
que f i 0 ne soit pas une homothétie ; f i 0 admet au moins une vp
λ 0 (puisque f i 0 est trigonalisable) et un SEP associé E 0 tel que
1 dim(E 0 ) n .
• Le sev E 0 est stable par chaque f i car, pour tout x de E 0 :
f i 0 ( f i (x)) = f i ( f i 0 (x)) = f i (λ 0 x) = λ 0 f i (x),
donc f i (x) ∈ E 0 .
• Notons, pour i ∈ I, g i l'endomorphisme induit par f i sur E 0 .
D'après l'ex. 3.4.11, g i est trigonalisable. On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence à E 0 et à la famille (g i ) i∈I : les
g i (i ∈ I ) admettent au moins un − →
vp commun x 0 . Il est clair
que x 0 est alors un − →
vp commun à tous les f i .
b) Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour n, et soient E un K-ev de dimension
finie n + 1, I un ensemble non vide, ( f i ) i∈I une famille d'endomorphismes trigonalisables de E et commutant deux à deux.
D'après a), il existe un vecteur propre commun x 0 à tous les
f i , i ∈ I. Puisque x 0 = 0 et que E est de dimension finie, on
peut compléter x 0 en une base de E. Il existe donc une base
B = (e 1 ,...,e n+1 ) de E telle que e n+1 = x 0 .
Notons, pour i ∈ I, A i = Mat B ( f i ).
Il existe B i ∈ M n (K ), L i ∈ M 1,n (K ), λ i ∈ K
tels que :
A i =
λ i L i
0 B i
.
On a, pour tout (i, j) ∈ I 2 :
A i A j =
λ i λ j λ i L j + L i B j
0
B i B j
.
Comme les f i commutent deux à deux, les A i aussi, et donc
les B i aussi.
Soit i ∈ I. On a :
χ A i (X) = (X − λ i )χ B i (X).
Comme A i est trigonalisable, χ A i est scindé sur K, donc χ B i
aussi, et par conséquent, B i est trigonalisable. (On peut aussi
appliquer l'exercice 3.4.11, matriciellement, à t A i ).
D'après l'hypothèse de récurrence, appliquée matriciellement,
il existe P ∈ GL n (K ) (ne dépendant pas de i), T i ∈ T n,s (K )
telles que : B i = PT i P −1 .
En notant Q =
1 0
0 P
et U i =
λ i L i P
0
T i
,
on a Q ∈ GL n+1 (K ), U i ∈ T n+1,s (K ), et :
QU i Q
−1 =
λ i
L i
0 PT i P −1
=
λ i L i
0 B i
= A i .
Ceci montre qu'il existe une base de E dans laquelle les matrices des f i sont toutes trigonales.
Remarque : Si n 2 , il se peut que deux endomorphismes de
E soient simultanément trigonalisables sans commuter, comme
le montre l'exemple A =
0 1
0 0
, B =
0 0
0 1
, pour lequel
on a :
AB =
0 1
0 0
=
0 0
0 0
= B A.
D'après l'exercice 3.4.11, comme A et B sont trigonalisables
et commutent, il existe
3.4.12
3.4.9
3.4.10
3.4.11