2) Recherche des sev de R 3 stables par f
Les sev de R 3 stables par f et de dimensions 0, 1, 3 sont aisément déterminés : {0} , RV 1 , RV 2 , R 3 .
Il reste à trouver les plans stables. Il est clair que les plans
P 1 = Vect(V 1 ,V 2 ), P 2 = Vect(V 2 ,V 3 ) sont stables par f.
Soit P un plan stable par f, autre que P 1 et P 2 (s'il en existe).
Alors P ∩ P 2 est une droite vectorielle stable par f, donc dirigée par V 2 (car V 1 ∈ P 2 ). Il existe donc W ∈ R 3 tel que
P = Vect(V 2 ,W ) . En notant W = αV 1 + βV 2 + γ V 3 ,
on a :
AW ∈ P ⇐⇒ det (V 1 ,V 2 ,V 3 ) (V 2 ,W,AW ) = 0
⇐⇒
0 α
−α
1 β 5β + γ
0 γ
5γ
= 0
⇐⇒ αγ = 0 ⇐⇒ (P = P 1 ou P = P 2 ).
Réponse : Les sev de R 3 stables par f sont :
{0} , RV 1 , RV 2 , RV 1 + RV 2 , RV 2 + RV 3 , R 3 ,
où V 1 = (10,15,4) , V 2 = (1,1,1) , V 3 = (0,−1,0) .
a) Puisque χ A est scindé sur R , A est trigonalisable dans
M n (R) : il existe
P ∈ GL n (R), T =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (R)
telles que A = PT P −1 .
Alors A k = PT k P −1 , d'où : χ A k = χ T k =
n
i=1
(λ
k
i − X),
qui est scindé sur R . Cf. aussi ex. 3.4.3 p. 105.
b) Puisque χ A est scindé sur C , A est trigonalisable dans
M n (C) : il existe
P ∈ GL n (C), T =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (C)
telles que A = PT P −1 .
Alors (cf. a) aussi) : χ A 2 =
n
i=1
(λ
2
i − X) .
Par hypothèse : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ 2
i ∈ R + ,
donc : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i ∈ R,
et finalement χ A est scindé sur R .
c) Pour A =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
,
on a χ A = −X 3 + 1 = −(X − 1)(X 2 + X + 1),
qui n'est pas scindé sur R , et A 3 = I 3 ,
donc χ A 3 = −(X − 1) 3 , qui est scindé sur R .
Réponse :
0 0 1
1 0 0
0 1 0
, par exemple.
309
La matrice A est trigonalisable dans M n (C) :
il existe
P ∈ GL n (C), T =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (C)
telles que A = PT P −1 .
On a : ∀(i, j) ∈ (N ∗ ) 2 ,
tr(A
i+ j−2 ) = tr(T
i+ j−2 ) =
n
k=1
λ
i+ j−2
k
.
Considérons : M =
tr(A i+ j−2 )
1i, jn
∈ M n (C) .
Remarquons que :
∀(i, j) ∈ (N ∗ ) 2 , tr(A
i+ j−2 ) =
n
k=1
λ
i−1
k λ
j−1
k
.
Ainsi, en notant B =
1 λ 1 . . . λ
n−1
1
. . .
. . .
1 λ n . . . λ n−1
n
, on a :
M = t B B, d'où (déterminant de Vandermonde) :
det(M) = (det(B)) 2 =
1 j
2
,
et finalement :
det(M) = 0 ⇐⇒ (λ 1 ,. . . ,λ n deux à deux distincts).
Remarque : On a de plus :
• (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ R n ⇒ det(M) ∈ R +
• (λ 1 ,. . . ,λ n réels et deux à deux distincts)
⇒ det(M) ∈ R ∗
+ .
• Soit λ ∈ C − Sp C (A). Alors A − λI n est inversible et commute avec B (car AB = B A), d'où :
χ A+B (λ) = det((A − λI n ) + B)
= det(A − λI n )det(I n + N ),
où N = B(A − λI n ) −1 .
Comme B est nilpotente et que B et (A − λI n ) −1 commutent,
N est nilpotente. Mais N est trigonalisable dans M n (C) : il existe
P ∈ GL n (C), T =
0 ❜ . . .
0
0
∈ T n,s (C)
telles que N = PT P −1 , d'où :
det(I n + N ) =
1 ❜ . . .
0
1
= 1 ,
et ainsi χ A+B (λ) = χ A (λ).
3.4.6
3.4.7
3.4.8
Les sev de R 3 stables par f et de dimensions 0, 1, 3 sont aisément déterminés : {0} , RV 1 , RV 2 , R 3 .
Il reste à trouver les plans stables. Il est clair que les plans
P 1 = Vect(V 1 ,V 2 ), P 2 = Vect(V 2 ,V 3 ) sont stables par f.
Soit P un plan stable par f, autre que P 1 et P 2 (s'il en existe).
Alors P ∩ P 2 est une droite vectorielle stable par f, donc dirigée par V 2 (car V 1 ∈ P 2 ). Il existe donc W ∈ R 3 tel que
P = Vect(V 2 ,W ) . En notant W = αV 1 + βV 2 + γ V 3 ,
on a :
AW ∈ P ⇐⇒ det (V 1 ,V 2 ,V 3 ) (V 2 ,W,AW ) = 0
⇐⇒
0 α
−α
1 β 5β + γ
0 γ
5γ
= 0
⇐⇒ αγ = 0 ⇐⇒ (P = P 1 ou P = P 2 ).
Réponse : Les sev de R 3 stables par f sont :
{0} , RV 1 , RV 2 , RV 1 + RV 2 , RV 2 + RV 3 , R 3 ,
où V 1 = (10,15,4) , V 2 = (1,1,1) , V 3 = (0,−1,0) .
a) Puisque χ A est scindé sur R , A est trigonalisable dans
M n (R) : il existe
P ∈ GL n (R), T =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (R)
telles que A = PT P −1 .
Alors A k = PT k P −1 , d'où : χ A k = χ T k =
n
i=1
(λ
k
i − X),
qui est scindé sur R . Cf. aussi ex. 3.4.3 p. 105.
b) Puisque χ A est scindé sur C , A est trigonalisable dans
M n (C) : il existe
P ∈ GL n (C), T =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (C)
telles que A = PT P −1 .
Alors (cf. a) aussi) : χ A 2 =
n
i=1
(λ
2
i − X) .
Par hypothèse : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ 2
i ∈ R + ,
donc : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i ∈ R,
et finalement χ A est scindé sur R .
c) Pour A =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
,
on a χ A = −X 3 + 1 = −(X − 1)(X 2 + X + 1),
qui n'est pas scindé sur R , et A 3 = I 3 ,
donc χ A 3 = −(X − 1) 3 , qui est scindé sur R .
Réponse :
0 0 1
1 0 0
0 1 0
, par exemple.
309
La matrice A est trigonalisable dans M n (C) :
il existe
P ∈ GL n (C), T =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (C)
telles que A = PT P −1 .
On a : ∀(i, j) ∈ (N ∗ ) 2 ,
tr(A
i+ j−2 ) = tr(T
i+ j−2 ) =
n
k=1
λ
i+ j−2
k
.
Considérons : M =
tr(A i+ j−2 )
1i, jn
∈ M n (C) .
Remarquons que :
∀(i, j) ∈ (N ∗ ) 2 , tr(A
i+ j−2 ) =
n
k=1
λ
i−1
k λ
j−1
k
.
Ainsi, en notant B =
1 λ 1 . . . λ
n−1
1
. . .
. . .
1 λ n . . . λ n−1
n
, on a :
M = t B B, d'où (déterminant de Vandermonde) :
det(M) = (det(B)) 2 =
1 j
2
,
et finalement :
det(M) = 0 ⇐⇒ (λ 1 ,. . . ,λ n deux à deux distincts).
Remarque : On a de plus :
• (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ R n ⇒ det(M) ∈ R +
• (λ 1 ,. . . ,λ n réels et deux à deux distincts)
⇒ det(M) ∈ R ∗
+ .
• Soit λ ∈ C − Sp C (A). Alors A − λI n est inversible et commute avec B (car AB = B A), d'où :
χ A+B (λ) = det((A − λI n ) + B)
= det(A − λI n )det(I n + N ),
où N = B(A − λI n ) −1 .
Comme B est nilpotente et que B et (A − λI n ) −1 commutent,
N est nilpotente. Mais N est trigonalisable dans M n (C) : il existe
P ∈ GL n (C), T =
0 ❜ . . .
0
0
∈ T n,s (C)
telles que N = PT P −1 , d'où :
det(I n + N ) =
1 ❜ . . .
0
1
= 1 ,
et ainsi χ A+B (λ) = χ A (λ).
3.4.6
3.4.7
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