308
Il existe T ∈ T n,s (C) telle que A ∼ T, et on a donc
χ T = χ A = (−1) n X n .
Les termes diagonaux de T sont nuls :
T =
0 ❜ . . .
0
0
.
Il est alors clair que :
Notons R =
P X
0 Q
, V =
T G
0 U
, où X,G sont à déterminer.
D'abord, R est inversible et :
R −1 =
P −1 −P −1 X Q −1
0
Q −1
.
Puis, par produits par blocs :
M = RV R
−1
⇐⇒ C = −PT P
−1 X Q
−1 + (PG + XU )Q
−1
.
Il suffit donc de choisir
X = 0
G = P −1 C Q
, ce qui fournit une trigonalisation de M :
M =
P 0
0 Q
T P −1 C Q
0
U
P −1
0
0
Q −1
Généralisation immédiate par récurrence sur N :
A 1
. . . . . .
0
A N
est trigonalisable si et seulement si
A 1 ,. . . ,A N sont trigonalisables.
1) Trigonalisation de A
Former le polynôme caractéristique :
χ A (λ) = −(λ + 1)(λ − 5) 2 .
Calculer les SEP :
• SEP(A,−1) est de dimension 1, engendré par V 1 =
10
15
4
• SEP(A,5) est de dimension 1, engendré par V 2 =
1
1
1
.
On en déduit que A n'est pas diagonalisable. Mais, puisque χ A
est scindé sur R , A est trigonalisable dans M 3 (R). Chercher
V 3 =
x
y
z
∈ M 3,1 (R) de façon que
AV 3 = 5V 3 + V 2 .
On peut choisir V 3 =
0
−1
0
, en remplaçant, pour la
commodité, V 2 par V 2 =
6
6
6
.
En notant P =
10 6
0
15 6 −1
4 6
0
, T =
−1 0 0
0 5 1
0 0 5
,
on a alors : A = PT P −1 .
T
2
=
0 0
. . .
0
0
0
, . . ., T n−1 =
0
0 •
0
0
0
0
,
T n = 0 et donc A n = 0
(iv) ⇒ (i) : trivial.
Il existe une base B = (e 1 ,. . . ,e n ) de E telle que
Mat B ( f ) ∈ T n,s (C), puisque f est trigonalisable.
Il est clair alors que les sev suivants de E sont stables par f et
de dimensions respectives 0, 1, 2, . . ., n :
{0}, Vect(e 1 ), Vect(e 1 ,e 2 ),. . . ,Vect(e 1 ,. . . ,e k ),. . . ,
Vect(e 1 ,. . . ,e n ).
• Puisque A est trigonalisable, il existe
T =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (C) , Q ∈ GL n (C)
telles que A = QT Q −1 . Alors
P(A) = Q P(T )Q −1 , d'où, pour tout λ de C :
χ P(A) (λ) = χ P(T ) (λ) =
P(λ 1 ) − λ
0
. . . . . .
P(λ n ) − λ
=
n
i=1
P(λ i ) − λ
• Sp C (P(A)) =
P(λ i ); 1 i n
= P(Sp C (A)) .
Remarquer : χ M = χ A χ B (cf. aussi ex. 3.2.4). Puis :
(M trigonalisable) ⇐⇒ (χ M scindé)
⇐⇒ (χ A et χ B scindés)
⇐⇒ (A et B trigonalisables).
Remarque :
Supposons connues des trigonalisations de A et B :
A = PT P −1 , B = QU Q −1 , P ∈ GL n (K ),
Q ∈ GL p (K ), T ∈ T n,s (K ) , U ∈ T p,s (K ) .
3.4.2
3.4.3
3.4.4
3.4.5
Il existe T ∈ T n,s (C) telle que A ∼ T, et on a donc
χ T = χ A = (−1) n X n .
Les termes diagonaux de T sont nuls :
T =
0 ❜ . . .
0
0
.
Il est alors clair que :
Notons R =
P X
0 Q
, V =
T G
0 U
, où X,G sont à déterminer.
D'abord, R est inversible et :
R −1 =
P −1 −P −1 X Q −1
0
Q −1
.
Puis, par produits par blocs :
M = RV R
−1
⇐⇒ C = −PT P
−1 X Q
−1 + (PG + XU )Q
−1
.
Il suffit donc de choisir
X = 0
G = P −1 C Q
, ce qui fournit une trigonalisation de M :
M =
P 0
0 Q
T P −1 C Q
0
U
P −1
0
0
Q −1
Généralisation immédiate par récurrence sur N :
A 1
. . . . . .
0
A N
est trigonalisable si et seulement si
A 1 ,. . . ,A N sont trigonalisables.
1) Trigonalisation de A
Former le polynôme caractéristique :
χ A (λ) = −(λ + 1)(λ − 5) 2 .
Calculer les SEP :
• SEP(A,−1) est de dimension 1, engendré par V 1 =
10
15
4
• SEP(A,5) est de dimension 1, engendré par V 2 =
1
1
1
.
On en déduit que A n'est pas diagonalisable. Mais, puisque χ A
est scindé sur R , A est trigonalisable dans M 3 (R). Chercher
V 3 =
x
y
z
∈ M 3,1 (R) de façon que
AV 3 = 5V 3 + V 2 .
On peut choisir V 3 =
0
−1
0
, en remplaçant, pour la
commodité, V 2 par V 2 =
6
6
6
.
En notant P =
10 6
0
15 6 −1
4 6
0
, T =
−1 0 0
0 5 1
0 0 5
,
on a alors : A = PT P −1 .
T
2
=
0 0
. . .
0
0
0
, . . ., T n−1 =
0
0 •
0
0
0
0
,
T n = 0 et donc A n = 0
(iv) ⇒ (i) : trivial.
Il existe une base B = (e 1 ,. . . ,e n ) de E telle que
Mat B ( f ) ∈ T n,s (C), puisque f est trigonalisable.
Il est clair alors que les sev suivants de E sont stables par f et
de dimensions respectives 0, 1, 2, . . ., n :
{0}, Vect(e 1 ), Vect(e 1 ,e 2 ),. . . ,Vect(e 1 ,. . . ,e k ),. . . ,
Vect(e 1 ,. . . ,e n ).
• Puisque A est trigonalisable, il existe
T =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (C) , Q ∈ GL n (C)
telles que A = QT Q −1 . Alors
P(A) = Q P(T )Q −1 , d'où, pour tout λ de C :
χ P(A) (λ) = χ P(T ) (λ) =
P(λ 1 ) − λ
0
. . . . . .
P(λ n ) − λ
=
n
i=1
P(λ i ) − λ
• Sp C (P(A)) =
P(λ i ); 1 i n
= P(Sp C (A)) .
Remarquer : χ M = χ A χ B (cf. aussi ex. 3.2.4). Puis :
(M trigonalisable) ⇐⇒ (χ M scindé)
⇐⇒ (χ A et χ B scindés)
⇐⇒ (A et B trigonalisables).
Remarque :
Supposons connues des trigonalisations de A et B :
A = PT P −1 , B = QU Q −1 , P ∈ GL n (K ),
Q ∈ GL p (K ), T ∈ T n,s (K ) , U ∈ T p,s (K ) .
3.4.2
3.4.3
3.4.4
3.4.5