P ∈ GL n (K ), T A =
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (K ),
T B =
µ 1
. . . . . .
0
µ n
∈ T n,s (K )
telles que A = PT A P −1 et B = PT B P −1 , où λ 1 ,. . . ,λ n (resp.
µ 1 ,. . . ,µ n ) sont les vp de A (resp. B).
On a alors :
A + B = P
λ 1 + µ 1 . . . . . .
0
λ n + µ n
P
−1
et AB = P
λ 1 µ 1 . . . . . .
0
λ n µ n
P
−1 ,
ce qui montre que les vp de A + B (resp. AB) sont
λ 1 + µ 1 ,. . . ,λ n + µ n (resp. λ 1 µ 1 ,. . . ,λ n µ n ) .
Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour un entier n, et soient
A,B,C ∈ M n+1 (C) telles que :
AB − B A = C, AC = C A, BC = C B.
Notons α,β,γ les endomorphismes de M n+1,1 (C) associés respectivement à A,B,C dans la base canonique de M n+1,1 (C).
L'endomorphisme γ admet au moins une vp λ ; notons
E λ = SEP(γ ,λ). Montrer que E λ est stable par α,β,γ . Notons
α ,β ,γ les endomorphismes induits sur E λ par α,β,γ respectivement. On a :
α ◦ β − β ◦ α = γ = λId E λ ,
d'où :
0 = tr(α ◦ β ) − tr(β ◦ α ) = tr(α ◦ β − β ◦ α )
= λ dim(E λ ),
et donc λ = 0, α ◦ β = β ◦ α .
En appliquant l'exercice 3.4.12 a) à E λ et à la famille (α ,β ),
il existe a 1 ,b 1 ∈ C, x 1 ∈ E λ − {0} tels que :
α (x 1 ) = a 1 x 1 et β (x 1 ) = b 1 x 1 .
Complétons x 1 en une base B = (x 1 ,x 2 ,. . . ,x n+1 ) de
M n+1,1 (C). Les matrices de α,β,γ dans B sont respectivement
de la forme :
a 1 X
0 A 1
,
b 1 Y
0 B 1
,
0 Z
0 C 1
,
où X,Y,Z ∈ M 1,n (C) , A 1 ,B 1 ,C 1 ∈ M n (C).
Par produits par blocs, montrer :
A 1 B 1 − B 1 A 1 = C 1 , A 1 C 1 = C 1 A 1 , B 1 C 1 = C 1 B 1 .
311
On peut appliquer l'hypothèse de récurrence à (A 1 ,B 1 ,C 1 ) :
il existe P ∈ GL n (C), T 1 , U 1 , V 1 ∈ T n,s (C) telles que :
A 1 = PT 1 P −1 , B 1 = PU 1 P −1 , C 1 = PV 1 P −1 .
En notant Q =
1 0
0 P
, Q est inversible,
Q −1 =
1
0
0 P −1
et, par produits par blocs :
Q −1 AQ, Q −1 B Q, Q −1 C Q ∈ T n+1,s (C) .
Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour un n de N ∗ et soient
A,B ∈ M n+1 (C) telles que AB = 0. Si A ou B est inversible,
alors B = 0 ou A = 0 et la propriété est immédiate. Supposons
A et B non inversibles.
Notons f,g les endomorphismes de M n+1,1 (C) de matrices
A,B dans la base canonique. Puisque f ◦ g = 0, il est clair que
Ker( f ) est stable par g. Notons g l'endomorphisme induit par
g sur Ker( f ).
Comme dim
Ker( f )
1, g admet au moins une vp λ et un
− →
vp associé x 1 .
Il
existe
x 2 ,. . . ,x n+1 ∈ M n+1,1 (C)
tels
que
B = (x 1 ,x 2 ,. . . ,x n+1 ) soit une base de M n+1,1 (C).
Les matrices de f,g dans B sont respectivement de la forme
0 X
0 A 1
,
λ Y
0 B 1
,
où X,Y ∈ M 1,n (C), A 1 ,B 1 ∈ M n (C).
Comme f ◦ g = 0, on déduit A 1 B 1 = 0 .
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe P ∈ GL n (C) ,
T,U ∈ T n,s (C) telles que :
A 1 = PT P −1 , B = PU P −1 .
En notant Q =
1 0
0 P
, Q est inversible,
Q −1 =
1
0
0 P −1
, et, par produit par blocs :
Q −1 AQ ∈ T n+1,s (K ), Q −1 B Q ∈ T n+1,s (K ) .
• Soient A =
0 1
0 0
, B =
1 1
1 1
, C =
0
1
0 −1
.
Calculer : ABC = 0.
Si A,B,C étaient simultanément trigonalisables, A,B,C admettraient au moins un − →
vp commun X 1 . Mais
Sp C (A) = {0}, SEP(A,0) = Ker(A) = Vect
1
0
et B
1
0
=
1
1
, donc A et B n'ont pas de − →
vp commun.
Réponse : La propriété ne s'étend pas au cas de trois matrices
(si n 2 ).
3.4.13
3.4.14
λ 1
. . . . . .
0
λ n
∈ T n,s (K ),
T B =
µ 1
. . . . . .
0
µ n
∈ T n,s (K )
telles que A = PT A P −1 et B = PT B P −1 , où λ 1 ,. . . ,λ n (resp.
µ 1 ,. . . ,µ n ) sont les vp de A (resp. B).
On a alors :
A + B = P
λ 1 + µ 1 . . . . . .
0
λ n + µ n
P
−1
et AB = P
λ 1 µ 1 . . . . . .
0
λ n µ n
P
−1 ,
ce qui montre que les vp de A + B (resp. AB) sont
λ 1 + µ 1 ,. . . ,λ n + µ n (resp. λ 1 µ 1 ,. . . ,λ n µ n ) .
Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour un entier n, et soient
A,B,C ∈ M n+1 (C) telles que :
AB − B A = C, AC = C A, BC = C B.
Notons α,β,γ les endomorphismes de M n+1,1 (C) associés respectivement à A,B,C dans la base canonique de M n+1,1 (C).
L'endomorphisme γ admet au moins une vp λ ; notons
E λ = SEP(γ ,λ). Montrer que E λ est stable par α,β,γ . Notons
α ,β ,γ les endomorphismes induits sur E λ par α,β,γ respectivement. On a :
α ◦ β − β ◦ α = γ = λId E λ ,
d'où :
0 = tr(α ◦ β ) − tr(β ◦ α ) = tr(α ◦ β − β ◦ α )
= λ dim(E λ ),
et donc λ = 0, α ◦ β = β ◦ α .
En appliquant l'exercice 3.4.12 a) à E λ et à la famille (α ,β ),
il existe a 1 ,b 1 ∈ C, x 1 ∈ E λ − {0} tels que :
α (x 1 ) = a 1 x 1 et β (x 1 ) = b 1 x 1 .
Complétons x 1 en une base B = (x 1 ,x 2 ,. . . ,x n+1 ) de
M n+1,1 (C). Les matrices de α,β,γ dans B sont respectivement
de la forme :
a 1 X
0 A 1
,
b 1 Y
0 B 1
,
0 Z
0 C 1
,
où X,Y,Z ∈ M 1,n (C) , A 1 ,B 1 ,C 1 ∈ M n (C).
Par produits par blocs, montrer :
A 1 B 1 − B 1 A 1 = C 1 , A 1 C 1 = C 1 A 1 , B 1 C 1 = C 1 B 1 .
311
On peut appliquer l'hypothèse de récurrence à (A 1 ,B 1 ,C 1 ) :
il existe P ∈ GL n (C), T 1 , U 1 , V 1 ∈ T n,s (C) telles que :
A 1 = PT 1 P −1 , B 1 = PU 1 P −1 , C 1 = PV 1 P −1 .
En notant Q =
1 0
0 P
, Q est inversible,
Q −1 =
1
0
0 P −1
et, par produits par blocs :
Q −1 AQ, Q −1 B Q, Q −1 C Q ∈ T n+1,s (C) .
Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour un n de N ∗ et soient
A,B ∈ M n+1 (C) telles que AB = 0. Si A ou B est inversible,
alors B = 0 ou A = 0 et la propriété est immédiate. Supposons
A et B non inversibles.
Notons f,g les endomorphismes de M n+1,1 (C) de matrices
A,B dans la base canonique. Puisque f ◦ g = 0, il est clair que
Ker( f ) est stable par g. Notons g l'endomorphisme induit par
g sur Ker( f ).
Comme dim
Ker( f )
1, g admet au moins une vp λ et un
− →
vp associé x 1 .
Il
existe
x 2 ,. . . ,x n+1 ∈ M n+1,1 (C)
tels
que
B = (x 1 ,x 2 ,. . . ,x n+1 ) soit une base de M n+1,1 (C).
Les matrices de f,g dans B sont respectivement de la forme
0 X
0 A 1
,
λ Y
0 B 1
,
où X,Y ∈ M 1,n (C), A 1 ,B 1 ∈ M n (C).
Comme f ◦ g = 0, on déduit A 1 B 1 = 0 .
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe P ∈ GL n (C) ,
T,U ∈ T n,s (C) telles que :
A 1 = PT P −1 , B = PU P −1 .
En notant Q =
1 0
0 P
, Q est inversible,
Q −1 =
1
0
0 P −1
, et, par produit par blocs :
Q −1 AQ ∈ T n+1,s (K ), Q −1 B Q ∈ T n+1,s (K ) .
• Soient A =
0 1
0 0
, B =
1 1
1 1
, C =
0
1
0 −1
.
Calculer : ABC = 0.
Si A,B,C étaient simultanément trigonalisables, A,B,C admettraient au moins un − →
vp commun X 1 . Mais
Sp C (A) = {0}, SEP(A,0) = Ker(A) = Vect
1
0
et B
1
0
=
1
1
, donc A et B n'ont pas de − →
vp commun.
Réponse : La propriété ne s'étend pas au cas de trois matrices
(si n 2 ).
3.4.13
3.4.14