6.3 • Surfaces
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
6.3.33 Soient a,b,c,h ∈ R ∗
+ . Déterminer la nature de la
surface S d'équation cartésienne :
(b
2 + c
2 )x
2 + (c
2 + a
2 )y
2 + (a
2 + b
2 )z
2
−2abx y − 2bcyz − 2cazx − h = 0.
6.3.34 Soit S une quadrique (non réduite à des plans), de
matrice, dans la base canonique, notée Q . Montrer que S
est de révolution si et seulement si Q admet une valeur
propre (au moins) double et non nulle.
6.3.35 Trouver une CNS sur (a,b,c) ∈ R
3 pour que la
quadrique S d'équation :
a(x
2 + 2yz) + b(y
2 + 2zx) + c(z
2 + 2xy) = 1
soit de révolution. (Utiliser l'exercice 6.3.34).
6.3.36 Soient (a,h) ∈ (R ∗
+ )
2 ,
D
y = 0
z = h
, D
x = 0
z = −h
,
H
z = 0
xy = a
2 .
a) Former une équation cartésienne de la surface S engendrée par les droites de l'espace rencontrant D,D ,H.
b) CNS sur (a,h) pour que S soit de révolution. (Utiliser
l'exercice 6.3.34).
6.3.37 Démontrer que toute équation du second degré
symétrique en x,y,z représente une quadrique de révolution.
6.3.38 Quelle est la nature de la quadrique S d'équation :
(x − 2y)
2 + (2y − 3z)
2 + (3z − x)
2 = 1?
6.3.39 Soit S la surface d'équation
(x + y + z)
2
− 2x + 2y + 4z − 1 = 0 .
a) Reconnaître S.
b) Quel est le plan de symétrie P de S ?
c) Déterminer le plan tangent T à S le long de P ∩ S.
6.3.40 Soient D une droite et P un plan tels que D \
// P .
Montrer que l'ensemble S des points de E 3 équidistants de
D et P est une quadrique dont on précisera la nature.
6.3.41 Soient D,D deux droites non coplanaires.
Montrer que l'ensemble S des points de E 3 équidistants de
D et D est une quadrique dont on précisera la nature.
6.3.42 Trouver toutes les quadriques contenant la courbe Γ :
x = t
3 , y =
t
3
− 1
t
, z =
t
3
+ 1
t
, t ∈ R ∗ .
6.3.43 Soient p ∈ R ∗
+ ,
P
z = 0
y
2
= 2 px
, D
x =
p
2
+ z
y = p.
.
Déterminer les quadriques contenant P,D, et tangentes
en O au plan yOz.
6.3.44 Soient h ∈ R ∗
+ , P
y = x
2
z = 0
, D
z = h
x = 0
.
Déterminer les quadriques contenant P et D .
6.3.45 Former une équation cartésienne de la surface S
engendrée par la rotation de la droite D
z = 0
y = x + 1
autour de la droite ∆
y = 0
x = z
.
6.3.46 Soit (a,b,c) ∈ (R ∗
+ )
3 . Trouver les plans tangents à
S :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 +
z
2
c 2 = 1 qui coupent les axes de coordonnées en trois points P,Q,R respectivement, tels que :
−→
O P ·
− →
i =
−→
O Q ·
− →
j =
−→
O R ·
− →
k .
6.3.47 Soient ( p,q) ∈ (R ∗
+ )
2 ,
S 1 : x
2
+ y
2
= 2 pz,
S 2 : x
2
+ y
2
= −2qz .
a) Reconnaître S 1 et S 2 .
b) Déterminer les courbes Γ de classe C
1 tracées sur S 1 ,
telles que la tangente en tout point de Γ soit aussi tangente à S 2 (et ne passant pas par O ).
6.3.48 Soient (A,B,C,D,E,F) ∈ R
6
− {(0,. . . ,0)} , S
le cône d'équation :
Ax
2 + 2Bx y + 2Cxz + Dy
2 + 2Eyz + Fz
2 = 0.
Montrer qu'une CNS pour qu'il existe trois génératrices
de S deux à deux orthogonales est :
A + D + F = 0.
(Utiliser l’ex. 4.5.59).
6.3.49 Soient a,b,c,a ,b ,c ,a ,b ,c ∈ R, Q 1 et Q 2 les
deux quadriques :
Q 1 : (ax + by + cz)
2 + (a
x + b
y + c
z)
2
+(a
x + b
y + c
z)
2 = 1
Q 2 : (ax + a
y + a
z)
2 + (bx + b
y + b
z)
2
+(cx + c
y + c
z)
2 = 1.
Montrer que Q 1 et Q 2 sont isométriques.
Surfaces réglées, surfaces développables, exercices 6.3.50
à 6.3.52
6.3.50 Montrer que la surface S de RP :
x = cos u − v sin u,
y = sin u + v cos u,
z = u(u + 2v), (u,v) ∈ R
2
est développable.