Chapitre 6 • Géométrie
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6.3.51 Montrer que la surface S de RP :
x = 3u + v, y = 2u
2
+ 2uv, z = u
3
v, (u,v) ∈ R
2
est développable et préciser l'arête de rebroussement.
6.3.52 Montrer que les surfaces suivantes sont réglées et
non développables :
a) x =
uv
u + v
, y = u
3
+ v
3 , z = u
2
+ v
2 ,
(u,v) ∈ R
2 et u + v = 0
b) x
2 z
2
− (x
2
+ y
2
) = 0.
6.3.53 Former une équation cartésienne du cylindre circonscrit à S : x
2
+ y
2
= z dans la direction de la droite
D : x = y = z.
6.3.54 Former une équation cartésienne du cône de sommet A(−2,−2,0) et circonscrit à
S : xy + yz + zx = 1 .
6.3.55 Soient (a,k) ∈ (R ∗
+ )
2 ,
S 1 : x
2
+ y
2
= a
2 ,
S 2 : x
2
+ y
2
+ z
2
= (1 + k
2
)a
2 . Trouver les courbes Γ
tracées sur S 1 et telles que la tangente en tout point de Γ
soit aussi tangente à S 2 .
6.3.56 Soient f : R
3
−→ R ,
(x,y,z) −→ f (x,y,z) =
x y z
z x y
y z x
et S =
M(x,y,z) ∈ E 3 ; f (x,y,z) = 1
.
1) Montrer que S est une surface de révolution ; en déterminer l'axe et une méridienne en vraie grandeur.
2) Pour tous M(x,y,z), M (x ,y ,z ) de E 3 , on définit un
point P(X,Y,Z ) de E 3 par :
X = x x
+ yz
+ zy
, Y = xy
+ yx
+ zz
,
Z = xz
+ yy
+ zx
.
a) Montrer que, si (M,M ) ∈ S
2 , alors P ∈ S. Ceci permet
de définir une loi de composition interne ∗ dans S.
b) Montrer que (S,∗) est un groupe abélien.
3) On note U = {u ∈ C; |u| = 1} .
a) Montrer que, pour tout (t,u) ∈ R × U, le point de E 3 défini par
x =
1
3
e −2t + e t (u + u)
, y =
1
3
e −2t + e t (ju + j
2 u)
,
z =
1
3
e −2t + e t (ju + j
2 u)
est sur S.
b) Etablir que l'application : R × U −→ S ainsi définie
est un C ∞ -difféomorphisme de R × U sur S, et un isomorphisme de R × U (où R est muni de + et U est muni de ·)
sur (S,∗).
c) Vérifier que le point M 1 de coordonnées
1 + e
3
3e 2 ,
1 + e
3
3e 2 ,
1 − 2e
3
3e 2
est sur S et calculer, pour tout
n ∈ Z , les coordonnées du point M n de S défini par :
∀n ∈ Z, M n+1 = M n ∗ M 1 .