Chapitre 6 • Géométrie
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6.3.16
Etudier la position locale de la surface
S : z cos x − y sin x = 0 par rapport à son plan tangent en O(0,0,0).
Cylindres, exercices 6.3.17 à 6.3.20
6.3.17 Former une équation cartésienne du cylindre S de
génératrices parallèles à − → v et de directrice Γ dans les
exemples suivants :
a) − → v (1,0,1) , Γ : x = a cos t,
y = a sin t,
z = a sin t cos t , t ∈ R , a ∈ R ∗
+ fixé
b) − → v (0,1,1) , Γ : y + z = 1, x
2
+ y
2
= z.
6.3.18 Former une équation cartésienne du cylindre S de
section droite Γ :
xyz = a
3
x + y + z = a
, a ∈ R ∗
+ fixé.
6.3.19 Reconnaître la surface S, dont on donne une équation cartésienne :
a)
1
x − y
+
1
y − z
+
1
z − x
= 0
b)
1
x − y
+
1
y − z
+
1
z − x
= 1 ,
et déterminer une section droite
c) 2 x−y + 2 y−z − 2 z−x − 1 = 0 .
6.3.20 Soient a,b,c ∈]0; +∞[ ,
S 1 :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 − 1 = 0, S 2 :
x
2
a 2 +
z
2
c 2 − 1 = 0 .
a) Reconnaître S 1 et S 2 .
b) Montrer que S 1 ∩ S 2 est la réunion de deux courbes
planes, dont on précisera la nature.
c) CNS sur (a,b,c) pour que S 1 ∩ S 2 soit la réunion de deux
cercles.
Cônes, exercices 6.3.21 à 6.3.25
6.3.21 Former une équation cartésienne du cône S de sommet Ω et de directrice Γ dans les exemples suivants :
a) Ω(0,0,0), Γ : x = t, y = t
2 , z = t
3 , t ∈ R ∗
b) Ω(1,−1,0), Γ : y + z = 1, x
2
+ y
2
= z.
6.3.22 Pour quelles valeurs de λ ∈ R la surface S λ d'équation
x(λ − y) + y(λ − z) + z(λ − x) − λ = 0
est-elle un cône? Dans ces cas, préciser le sommet et une
directrice.
6.3.23 Déterminer le lieu des sommets des cônes du second
degré qui passent par une parabole donnée et par un point
donné.
6.3.24 Montrer que le plan P d'équation 2x + 3y − z = 0
coupe le cône S d'équation x
2
+ y
2
− z
2
= 0 suivant deux
droites D,D , et calculer < ) (D,D ).
6.3.25 Etablir qu'il n'existe aucune droite de E 3 , ne passant
pas par O , et tangente aux trois cônes :
S 1 : x
2 + y
2 = z
2 , S 2 : y
2 + z
2 = x
2 , S 3 : z
2 + x
2 = y
2 .
Surfaces de révolution, exercices 6.3.26 à 6.3.31
6.3.26 Former une équation cartésienne de la surface de
révolution S obtenue en faisant tourner la courbe Γ
(x = cos
3 t , y = sin
3 t, z = cos 2t, t ∈ R ) autour de z z .
6.3.27 Soit R ∈ R ∗
+ .
a) Former une équation cartésienne du cylindre de révolution S de rayon R et d'axe D d'équations
x = z + 2
y = z + 1
.
b) CNS sur R pour que z z soit tangente à S.
6.3.28 Former une équation cartésienne du cône de révolution S d'axe O + R(
− →
i +
− →
j +
− →
k ) qui contient les axes
de coordonnées.
6.3.29 Montrer que la surface
S : x
4
+ y
4
+ z
4
− 4xyz(x + y + z) − 1 = 0
est de révolution et préciser son axe.
6.3.30 Soit Γ la courbe d'équations
x = z
2
+ 2z
y = 2z
2
− z
.
a) Montrer que Γ est une parabole. Trouver son plan, son
sommet, son axe.
b) Former une équation cartésienne de la surface de révolution obtenue en faisant tourner Γ autour de son axe.
6.3.31 On considère trois cylindres de révolution, de même
rayon R (R > 0) et d'axes respectifs x x, y y , z z . Calculer
le volume intérieur à ces trois cylindres.
Quadriques, exercices 6.3.32 à 6.3.49
6.3.32 Pour chacune des quadriques S suivantes, préciser :
• un repère orthonormé direct dans lequel S admet une
équation réduite
• une équation réduite de S
• la nature de S
a) x
2
+ y
2
+ z
2
− 2xy + 2xz + 3x − y + z + 1 = 0
b) 7x
2
− 2y
2
+ 4z
2
+ 4xy + 20xz
+16yz − 36x + 72y − 108z + 36 = 0
c) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy − 1 = 0
d) x
2
− 4x − 3y + 4z − 2 = 0 .