6.3 • Surfaces
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Généralités sur les surfaces, exercices 6.3.1 à 6.3.9
6.3.1 Trouver une représentation paramétrique de la surface S d'équation :
(
3
√
x)
2 + (
3
√ y)
2 + (
3
√
z)
2 = 4.
6.3.2 Former une équation cartésienne d'une surface S
contenant la surface admettant la représentation paramétrique :
x = u + v + w,
y = u
2 + v
2 + w
2 ,
z = u
3 + v
3 + w
3 ,
uvw = 1, (u,v,w) ∈ R
3 .
6.3.3 Former une équation cartésienne de la surface S
réunion des droites ∆ de E 3 rencontrant les trois droites :
D 1
y = −1
z = 1
, D 2
x = 1
z = −1
, D 3
x = −1
y = 1
.
6.3.4 Soient (a,h) ∈ (R ∗
+ )
2 , H l'hyperbole d'équations
xy = a
2
z = 0
, D
y = 0
z = h
, D
x = 0
z = −h
.
Former une équation cartésienne de la surface S réunion
des droites ∆ de E 3 rencontrant H , D , D .
6.3.5 Soient π le plan d'équation y = z, et les deux paraboles P
y
2
= 2x
z = 0
, P
z
2
= 3x
y = 0
.
Former une équation cartésienne de la surface S réunion
des droites ∆ de E 3 parallèles à π et rencontrant P et P .
6.3.6 Soient (a,b,c) ∈ (R ∗ )
3 et Γ la courbe représentée
paramétriquement par :
x = at, y = bt
3
, z = c(t
2
+ 1), t ∈ R.
Former une équation cartésienne de la surface S réunion
des cordes de Γ parallèles au plan x Oy .
6.3.7 Former une équation cartésienne de la surface S
réunion des droites de E 3 qui coupent la courbe Γ de RP :
x = t
2 , y = t
3
− t, z = t
4
− t, t ∈ R ,
en trois points.
6.3.8 Montrer que la courbe Γ
z
2
− xy − 1 = 0
x + y − z = 0
est un
cercle.
6.3.9 Déterminer les droites tracées sur la surface S
d'équation :
a) xy + yz + zx + xyz = 0
b) x(x
2
+ y
2
+ z
2
) − yz = 0
c) 2x
3
− 3x
2 y + z
2
= 0
d) y
2
(y
2
+ z
2
) − (x
2
− 1)
2
= 0 .
Plan tangent à une surface, exercices 6.3.10 à 6.3.16
6.3.10 Pour les surfaces S suivantes, déterminer les points
réguliers et former une équation cartésienne du plan tangent en tout point régulier :
a)



x = u + v
y = uv
z = u
3
+ v
3
, (u,v) ∈ R
2
b)

    
    
x = u +
1
u
y = v +
1
v
z =
u
v
+
v
u
, (u,v) ∈ (R ∗ )
2 .
6.3.11 Soit S la surface de RP :
x =
u
u 2 + v 2 , y =
v
u 2 + v 2 , z =
1
u 2 + v 2 ,
(u,v) ∈ R
2 − {(0,0)}.
Déterminer l'ensemble des points de S en lesquels le plan
tangent est parallèle à − → u (1,1,1) .
6.3.12 Former une équation cartésienne du (des) plan(s)
tangent(s) à la surface S d'équation x
2
+ y
2
+ 2z
2
= 1 et
perpendiculaire(s) à la droite D d'équations x =
y
3
= −
z
2
.
6.3.13 Déterminer les plans tangents à la surface S d'équation z
3
− xy = 0 et contenant la droite D d'équations
x = 2
y = 3z + 3
.
6.3.14 Soient Γ la courbe représentée paramétriquement
par (x = t, y = t
3
, z = t
2
+ 1) et S la surface réunion des
droites parallèles au plan x Oy et rencontrant Γ en deux
points.
a) Former une représentation paramétrique et une équation
cartésienne de S.
b) Quel est l'ensemble des points de S en lesquels le plan
tangent contient O ?
6.3.15 Soient (a,b,c) ∈ R
3 tel que 0 < a < c < b , et les
deux surfaces :
S 1 : y
2 (x
2 + z
2 ) = b
2 x
2 + a
2 z
2 ,
S 2 :
x
2
c 2 − a 2 +
y
2
c 2 +
z
2
c 2 − b 2 = 1.
Montrer que S 1 et S 2 se coupent orthogonalement suivant
quatre droites.
Exercices