Chapitre 6 • Géométrie
272
• Pour déterminer le sommet Ω d’un cône S, remarquer que Ω est un point non régulier de S (ex. 6.3.22).
• Étant donné une droite D et une courbe Γ de représentation paramétrique t −→ m(t), une équation cartésienne
de la surface de révolution S obtenue en faisant tourner Γ autour de D (ex. 6.3.26) est obtenue en éliminant
m dans :
d(m,D) = d(M,D)
M ∈ P m
où P m est le plan passant par m et orthogonal à D.
• Pour reconnaître qu’une surface S est de révolution (ex. 6.3.29), mettre son équation cartésienne sous la forme
f (P,Σ) = 0 où P est un plan et Σ une sphère (cf. § 6.3.3 3) p. 249).
Une méridienne, souvent souhaitée, est alors l’intersection de la surface avec un plan contenant l’axe. L’obtention
en est aisée si l’un des plans des coordonnées contient l’axe ; sinon, un changement de r.o.n.d. s’impose.
• Pour obtenir une équation réduite et déterminer la nature d’une quadrique S dont on donne une équation
cartésienne F(x,y,z) = 0 (ex. 6.3.32, 6.3.33), former la matrice Q de la forme quadratique dans la base canonique de R 3 et calculer les valeurs propres de Q ou le polynôme caractéristique χ Q .
– Si 0 n’est pas valeur propre de Q, alors S est une quadrique à centre. Le centre Ω de S est obtenu en résolvant
le système d’équations :
F
x (x,y,z) = 0, F
y (x,y,z) = 0, F
z (x,y,z) = 0.
Appliquer ensuite la méthode développée dans le § 6.3.4 3) p. 253 et la liste des quadriques à centre, tableau
p. 256.
– Si 0 est valeur propre de Q, appliquer la méthode développée dans le § 6.3.3 4) p. 254, consistant essentiellement en des groupements de termes dans des trinômes, et le tableau des « autres » quadriques p. 257.
• Pour trouver toutes les quadriques contenant une (ou des) courbe(s) donnée(s) (ex. 6.3.42 à 6.3.44), partir de
l’équation cartésienne générale d’une quadrique.
• Certaines quadriques peuvent aussi être des cylindres (ex. 6.3.31, 6.3.32) ou des cônes, ou des surfaces de révolution (ex. 6.3.34 à 6.3.37), ce qui peut faciliter leur étude.
• Pour montrer qu’une surface donnée par une représentation paramétrique est réglée (ex. 6.3.50 à 6.3.52),
mettre cette représentation paramétrique sous la forme :
φ : (u,v) −→ m(u) + v
−−→
G(u)
cf. § 6.3.5 1) Déf. p. 261.
• Une surface réglée S de représentation paramétrique φ : (u,v) −→ m(u) + v
−−→
G(u) est développable (ex. 6.3.50 à
6.3.52) si et seulement si, pour tout u, la famille
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
est liée, cf. 6.3.5 2) Th. 1 p. 263.
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• Pour déterminer le sommet Ω d’un cône S, remarquer que Ω est un point non régulier de S (ex. 6.3.22).
• Étant donné une droite D et une courbe Γ de représentation paramétrique t −→ m(t), une équation cartésienne
de la surface de révolution S obtenue en faisant tourner Γ autour de D (ex. 6.3.26) est obtenue en éliminant
m dans :
d(m,D) = d(M,D)
M ∈ P m
où P m est le plan passant par m et orthogonal à D.
• Pour reconnaître qu’une surface S est de révolution (ex. 6.3.29), mettre son équation cartésienne sous la forme
f (P,Σ) = 0 où P est un plan et Σ une sphère (cf. § 6.3.3 3) p. 249).
Une méridienne, souvent souhaitée, est alors l’intersection de la surface avec un plan contenant l’axe. L’obtention
en est aisée si l’un des plans des coordonnées contient l’axe ; sinon, un changement de r.o.n.d. s’impose.
• Pour obtenir une équation réduite et déterminer la nature d’une quadrique S dont on donne une équation
cartésienne F(x,y,z) = 0 (ex. 6.3.32, 6.3.33), former la matrice Q de la forme quadratique dans la base canonique de R 3 et calculer les valeurs propres de Q ou le polynôme caractéristique χ Q .
– Si 0 n’est pas valeur propre de Q, alors S est une quadrique à centre. Le centre Ω de S est obtenu en résolvant
le système d’équations :
F
x (x,y,z) = 0, F
y (x,y,z) = 0, F
z (x,y,z) = 0.
Appliquer ensuite la méthode développée dans le § 6.3.4 3) p. 253 et la liste des quadriques à centre, tableau
p. 256.
– Si 0 est valeur propre de Q, appliquer la méthode développée dans le § 6.3.3 4) p. 254, consistant essentiellement en des groupements de termes dans des trinômes, et le tableau des « autres » quadriques p. 257.
• Pour trouver toutes les quadriques contenant une (ou des) courbe(s) donnée(s) (ex. 6.3.42 à 6.3.44), partir de
l’équation cartésienne générale d’une quadrique.
• Certaines quadriques peuvent aussi être des cylindres (ex. 6.3.31, 6.3.32) ou des cônes, ou des surfaces de révolution (ex. 6.3.34 à 6.3.37), ce qui peut faciliter leur étude.
• Pour montrer qu’une surface donnée par une représentation paramétrique est réglée (ex. 6.3.50 à 6.3.52),
mettre cette représentation paramétrique sous la forme :
φ : (u,v) −→ m(u) + v
−−→
G(u)
cf. § 6.3.5 1) Déf. p. 261.
• Une surface réglée S de représentation paramétrique φ : (u,v) −→ m(u) + v
−−→
G(u) est développable (ex. 6.3.50 à
6.3.52) si et seulement si, pour tout u, la famille
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
est liée, cf. 6.3.5 2) Th. 1 p. 263.