6.3 • Surfaces
271
Une représentation paramétrique locale pourra provenir du théorème des fonctions implicites.
• Pour former une équation cartésienne d’une surface donnée par une représentation paramétrique (ex.
6.3.2), éliminer les paramètres.
• Pour former une équation cartésienne de la réunion des droites de l’espace satisfaisant des conditions imposées (ex. 6.3.3, 6.3.4, 6.3.7), déterminer les droites en question par un système d’équations cartésiennes
x = az + p
y = bz + q
par exemple, puis éliminer (a,b, p,q) (cf. également la rubrique « Les méthodes à retenir » de
Géométrie PCSI-PTSI, § 1.2.3). On peut aussi essayer de faire intervenir une représentation paramétrique d’une
droite de la famille (ex. 6.3.5, 6.3.6).
• Pour déterminer toutes les droites tracées sur une surface S d’équation cartésienne donnée (ex. 6.3.9), chercher ces droites par un système d’équations cartésiennes du type
x = az + p
y = bz + q
, par exemple, si elles ne sont pas
parallèles à x Oy.
• Le plan tangent en un point régulier M(u,v) d’une surface S de représentation paramétrique x = x(u,v) ,
y = y(u,v) , z = z(u,v) (ex. 6.3.10, 6.3.11), est le plan passant par M(u,v) et dirigé par
− →
∂ M
∂u
(u,v),
− →
∂ M
∂v
(u,v)
,
cf. § 6.3.2 1) p. 238.
• Le plan tangent en un point régulier A(a,b,c) d’une surface S d’équation cartésienne F(x,y,z) = 0 (ex. 6.3.12,
6.3.13), est le plan d’équation cartésienne :
(X − a)F
x (A) + (Y − b)F
y (A) + (Z − c)F
z (A) = 0
cf. § 6.2.3 2) p. 240.
• Étant donné un vecteur − → v non nul et une courbe Γ de représentation paramétrique t −→ m(t), une représentation paramétrique du cylindre S de génératrices parallèles à − → v et de directrice Γ est :
(t,λ) −→ M(t) = m(t) + λ − → v
cf. § 6.3.3 1) p. 244.
On obtient une équation cartésienne de S (ex. 6.3.17 a)) en éliminant (t,λ).
Si Γ est donnée par un système d’équations cartésiennes
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0
(ex. 6.3.17 b)), on obtient une équation cartésienne de S en éliminant λ,x,y,z dans :
X − x = λα, Y − y = λβ, Z − z = λγ, F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 ,
où on a noté m(x,y,z), M(X,Y,Z ), − → v = (α,β,γ ).
• Pour reconnaître qu’une surface S est un cylindre (ex. 6.3.19), mettre son équation cartésienne sous la forme
f (P,Q) = 0 , où P,Q sont des plans sécants (cf. § 6.3.3 1) p. 244).
Si l’énoncé demande de plus une section droite du cylindre, on sera amené à effectuer un changement de repère
orthonormé.
• Étant donné un point Ω et une courbe Γ de représentation paramétrique t −→ m(t), une représentation paramétrique du cône S de sommet Ω et de directrice Γ est :
(t,λ) −→ M(t) = Ω + λ
−−−→
Ωm(t)
cf. § 6.3.3 2) p. 245. On obtient une représentation cartésienne de S (ex. 6.3.21 a)) en éliminant (t,λ).
Si Γ est donnée par un système d’équations cartésiennes
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0
(ex. 6.3.21 b), 6.3.23), on obtient une
équation cartésienne de S en éliminant λ,x,y,z dans :
X − a = λ(x − a) , Y − b = λ(y − b), Z − c = λ(z − c), F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0
où on a noté m(x,y,z), M(X,Y,Z ), Ω(a,b,c). Il peut être commode de considérer
1
λ
plutôt que λ.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Une représentation paramétrique locale pourra provenir du théorème des fonctions implicites.
• Pour former une équation cartésienne d’une surface donnée par une représentation paramétrique (ex.
6.3.2), éliminer les paramètres.
• Pour former une équation cartésienne de la réunion des droites de l’espace satisfaisant des conditions imposées (ex. 6.3.3, 6.3.4, 6.3.7), déterminer les droites en question par un système d’équations cartésiennes
x = az + p
y = bz + q
par exemple, puis éliminer (a,b, p,q) (cf. également la rubrique « Les méthodes à retenir » de
Géométrie PCSI-PTSI, § 1.2.3). On peut aussi essayer de faire intervenir une représentation paramétrique d’une
droite de la famille (ex. 6.3.5, 6.3.6).
• Pour déterminer toutes les droites tracées sur une surface S d’équation cartésienne donnée (ex. 6.3.9), chercher ces droites par un système d’équations cartésiennes du type
x = az + p
y = bz + q
, par exemple, si elles ne sont pas
parallèles à x Oy.
• Le plan tangent en un point régulier M(u,v) d’une surface S de représentation paramétrique x = x(u,v) ,
y = y(u,v) , z = z(u,v) (ex. 6.3.10, 6.3.11), est le plan passant par M(u,v) et dirigé par
− →
∂ M
∂u
(u,v),
− →
∂ M
∂v
(u,v)
,
cf. § 6.3.2 1) p. 238.
• Le plan tangent en un point régulier A(a,b,c) d’une surface S d’équation cartésienne F(x,y,z) = 0 (ex. 6.3.12,
6.3.13), est le plan d’équation cartésienne :
(X − a)F
x (A) + (Y − b)F
y (A) + (Z − c)F
z (A) = 0
cf. § 6.2.3 2) p. 240.
• Étant donné un vecteur − → v non nul et une courbe Γ de représentation paramétrique t −→ m(t), une représentation paramétrique du cylindre S de génératrices parallèles à − → v et de directrice Γ est :
(t,λ) −→ M(t) = m(t) + λ − → v
cf. § 6.3.3 1) p. 244.
On obtient une équation cartésienne de S (ex. 6.3.17 a)) en éliminant (t,λ).
Si Γ est donnée par un système d’équations cartésiennes
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0
(ex. 6.3.17 b)), on obtient une équation cartésienne de S en éliminant λ,x,y,z dans :
X − x = λα, Y − y = λβ, Z − z = λγ, F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 ,
où on a noté m(x,y,z), M(X,Y,Z ), − → v = (α,β,γ ).
• Pour reconnaître qu’une surface S est un cylindre (ex. 6.3.19), mettre son équation cartésienne sous la forme
f (P,Q) = 0 , où P,Q sont des plans sécants (cf. § 6.3.3 1) p. 244).
Si l’énoncé demande de plus une section droite du cylindre, on sera amené à effectuer un changement de repère
orthonormé.
• Étant donné un point Ω et une courbe Γ de représentation paramétrique t −→ m(t), une représentation paramétrique du cône S de sommet Ω et de directrice Γ est :
(t,λ) −→ M(t) = Ω + λ
−−−→
Ωm(t)
cf. § 6.3.3 2) p. 245. On obtient une représentation cartésienne de S (ex. 6.3.21 a)) en éliminant (t,λ).
Si Γ est donnée par un système d’équations cartésiennes
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0
(ex. 6.3.21 b), 6.3.23), on obtient une
équation cartésienne de S en éliminant λ,x,y,z dans :
X − a = λ(x − a) , Y − b = λ(y − b), Z − c = λ(z − c), F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0
où on a noté m(x,y,z), M(X,Y,Z ), Ω(a,b,c). Il peut être commode de considérer
1
λ
plutôt que λ.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.