Chapitre 6 • Géométrie
270
Comme : (2) ⇐⇒ x
3
= (λ − x)
3
⇐⇒ x = λ − x ⇐⇒ x =
λ
2
, D λ,µ est tangente à S si
et seulement si :
λ
4
8
+ µ
4 − 1 = 0.
On obtient une EC du cylindre Σ en éliminant (λ,µ) dans :
y = −x + λ
z = µ
λ
4
8
+ µ
4
− 1 = 0,
ce qui donne : Σ | (x + y)
4
+ 8z
4
− 8 = 0 .
4) Contour apparent conique issu d'un point donné
Définition
Soient S une surface, Ω un point (souvent, on supposera : Ω ∈ S). On appelle contour apparent conique
de S issu du point Ω la courbe Γ formée des points M
de S en lesquels la droite (Ω M) est tangente à S.
Le cône Σ, réunion des droites issues de Ω et tangentes à S est appelé le cône de sommet Ω circonscrit à S.
On dit aussi que Γ est la courbe de contact de S et Σ.
On a : Γ ⊂ S ∩ Σ, et souvent en pratique : Γ = S ∩ Σ.
Exemple :
Former une EC du cône de sommet Ω(0,2,0) et circonscrit à la surface S
d'EC x
2
+ y
2
− z
2
= 1 .
Un point M(x,y,z) est sur Σ si et seulement si la droite (Ω M) est tangente à S. Une RP de
(Ω M) est
X = λx
Y = 2 + λ(y − 2)
Z = λz
, λ ∈ R. Cette droite (Ω M) est tangente à S si et seulement
si l'équation :
(λx)
2 +
2 + λ(y − 2)
2 − (λz)
2 − 1 = 0
admet (au moins) une solution double en λ, c'est-à-dire si et seulement si :
2(y − 2)
2 − 3
x
2 + (y − 2)
2 − z
2
= 0.
Ainsi, Σ a pour EC : −3x
2
+ (y − 2)
2
+ 3z
2
= 0 .
Σ
Γ
Ω
S
Imaginer que l’on regarde S, l’œil étant
en Ω.
Les méthodes à rétenir
Surfaces
• Pour déterminer une représentation paramétrique d’une surface donnée par une équation cartésienne
(ex. 6.3.1), il n’y a pas de méthode générale. Si une somme de carrés intervient, on pourra essayer de faire apparaître des fonctions trigonométriques.
270
Comme : (2) ⇐⇒ x
3
= (λ − x)
3
⇐⇒ x = λ − x ⇐⇒ x =
λ
2
, D λ,µ est tangente à S si
et seulement si :
λ
4
8
+ µ
4 − 1 = 0.
On obtient une EC du cylindre Σ en éliminant (λ,µ) dans :
y = −x + λ
z = µ
λ
4
8
+ µ
4
− 1 = 0,
ce qui donne : Σ | (x + y)
4
+ 8z
4
− 8 = 0 .
4) Contour apparent conique issu d'un point donné
Définition
Soient S une surface, Ω un point (souvent, on supposera : Ω ∈ S). On appelle contour apparent conique
de S issu du point Ω la courbe Γ formée des points M
de S en lesquels la droite (Ω M) est tangente à S.
Le cône Σ, réunion des droites issues de Ω et tangentes à S est appelé le cône de sommet Ω circonscrit à S.
On dit aussi que Γ est la courbe de contact de S et Σ.
On a : Γ ⊂ S ∩ Σ, et souvent en pratique : Γ = S ∩ Σ.
Exemple :
Former une EC du cône de sommet Ω(0,2,0) et circonscrit à la surface S
d'EC x
2
+ y
2
− z
2
= 1 .
Un point M(x,y,z) est sur Σ si et seulement si la droite (Ω M) est tangente à S. Une RP de
(Ω M) est
X = λx
Y = 2 + λ(y − 2)
Z = λz
, λ ∈ R. Cette droite (Ω M) est tangente à S si et seulement
si l'équation :
(λx)
2 +
2 + λ(y − 2)
2 − (λz)
2 − 1 = 0
admet (au moins) une solution double en λ, c'est-à-dire si et seulement si :
2(y − 2)
2 − 3
x
2 + (y − 2)
2 − z
2
= 0.
Ainsi, Σ a pour EC : −3x
2
+ (y − 2)
2
+ 3z
2
= 0 .
Σ
Γ
Ω
S
Imaginer que l’on regarde S, l’œil étant
en Ω.
Les méthodes à rétenir
Surfaces
• Pour déterminer une représentation paramétrique d’une surface donnée par une équation cartésienne
(ex. 6.3.1), il n’y a pas de méthode générale. Si une somme de carrés intervient, on pourra essayer de faire apparaître des fonctions trigonométriques.