6.3 • Surfaces
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3) Déterminer les lignes de plus grande pente du paraboloïde hyperbolique S d'EC
x
2
− y
2
= 2z .
Les lignes de niveau Γ λ de S ont pour EC
x
2
− y
2
= 2λ
z = λ
, λ ∈ R.
Un vecteur tangent non nul en un point (x,y,z) de Γ λ a pour coordonnées (y,x,0) .
Une ligne de plus grande pente C admet une RP : x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ), et un
vecteur tangent en un point
x(λ),y(λ),z(λ)
de C a pour coordonnées
x (λ),y (λ),z (λ)
. L'orthogonalité des vecteurs tangents à Γ λ et C se traduit par :
x y + xy = 0 , d'où : xy = µ (µ ∈ R).
Les lignes de plus grande pente de S ont donc pour EC :
x
2
− y
2
= 2z
xy = µ
, µ ∈ R,
et pour RP :

   
   
x = t
y =
µ
t
z =
1
2
t
2
−
µ
2
t 2
, t ∈ R ∗ .
3) Contour apparent cylindrique dans une direction donnée
Définition
Soient S une surface, une direction de droites. On
appelle contour apparent cylindrique de S dans la
direction la courbe Γ formée des points M de S en
lesquels la droite passant par M et de direction est
tangente à S.
Le cylindre Σ, réunion des droites de direction et tangentes à S est appelé le
cylindre circonscrit à S dans la direction .
On dit aussi que Γ est la courbe de contact de S et Σ.
On a : Γ ⊂ S ∩ Σ, et souvent en pratique, Γ = S ∩ Σ.
Exemple :
Former une EC du cylindre circonscrit à la surface S d'EC x
4
+ y
4
+ z
4
= 1 , dans
la direction d'équations
x + y = 0
z = 0
.
Une droite D λ,µ , dirigée par
− →
i −
− →
j , de SEC
y = −x + λ
z = µ
, (λ,µ) ∈ R
2 , est tangente à
S si et seulement si l'équation
x
4 + (−x + λ)
4 + µ
4 − 1 = 0,
d'inconnue x ∈ R, admet (au moins) une solution double.
À cet effet, on élimine x dans :
x
4
+ (x − λ)
4
+ µ
4
− 1 = 0
(1)
4x
3
+ 4(x − λ)
3
= 0
(2).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Λ
Σ
Γ
S
Imaginer que l’on regarde S, l’œil étant
à l’infini dans la direction Λ.