Chapitre 6 • Géométrie
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Une ED de la famille des trajectoires orthogonales de (D λ ) λ∈R est alors :
y +
x
y = 0, ou encore : yy
+ x = 0.
Les trajectoires orthogonales ont donc pour EC :
x
2 + y
2 = µ (µ ∈ R + );
ce sont les cercles de centre O .
2) Déterminer les trajectoires orthogonales de la famille (Γ λ ) λ∈R ∗ d'hyperboles équilatères d'EC :
x
2
− y
2
+ λy = 0.
On obtient une ED de (Γ λ ) λ∈R ∗ en éliminant λ
dans
x
2
− y
2
+ λy = 0
2x − 2yy + λy = 0
, ce qui donne :
2xy − (x
2 + y
2 )y
= 0.
Une ED des trajectoires orthogonales de (Γ λ ) λ∈R ∗
est obtenue en remplaçant y par −
1
y :
2xyy
+ (x
2 + y
2 ) = 0.
Le changement de fonction inconnue z = y
2 ramène à l'ED xz + z + x
2
= 0, dont la solution générale est :
z : x −→ −
x
2
3
+
µ
x
, µ ∈ R.
On en déduit une équation cartésienne des trajectoires orthogonales (C µ ) µ∈R :
x(x
2
+ 3y
2
) − 3µ = 0.
2) Lignes de plus grande pente
Définition
Soit S une surface.
On appelle lignes de niveau de S les sections de S par les plans horizontaux. On
appelle lignes de plus grande pente de S les trajectoires orthogonales de la famille
des lignes de niveau de S.
Exemples :
1) Il est évident, graphiquement, que les lignes de plus
grande pente de la sphère S de centre O et de rayon R
(> 0) sont les cercles diamétraux passant par les deux
« pôles » de S.
2) De même, les lignes de plus grande pente d'un
cône de révolution de sommet O et d'axe z z sont ses
génératrices.
y
x
O
z
y
x
O
z
y
x
O
On remplace y par −
1
y dans
l’équation différentielle précédente
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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Gé
ométrie Monier