6.3 • Surfaces
267
6.3.6 Exemples de recherche de courbes tracées
sur une surface et satisfaisant une condition
différentielle
Ce § 6.3.6 est destiné aux étudiants de seconde année PT, PT ∗ .
1) Trajectoires orthogonales
Définiton
Soient S une surface, (Γ λ ) λ∈ une famille de courbes tracées sur S. On appelle trajectoire orthogonale de (Γ λ ) λ∈ (sur S) toute courbe C, tracée sur S, et coupant
orthogonalement chacune des Γ λ (λ ∈ ).
Examinons le cas particulier où S est un plan ; on peut, par un changement de r.o.n.d., se ramener au cas où S est le plan x Oy .
Soit (Γ λ ) λ∈ une famille de courbes du plan, indexée par un intervalle de R . Supposons qu'il
existe un ouvert V de R
3 et une application F : V −→ R de classe C
1 sur Vtelle que, pour tout
λ de , Γ λ admette pour EC F(x,y,λ) = 0 .
Supposons qu'en tout point de Γ λ le théorème des fonctions implicites s'applique, et que Γ λ soit
la courbe représentative d'une fonction d'une variable réelle, de classe C
1 .
L'élimination de λ dans
F(x,y,λ) = 0
F
x (x,y,λ) + F
y (x,y,λ)y = 0
donne une relation de la forme
f (x,y,y ) = 0 , appelée équation différentielle (du 1 er ordre) de la famille de courbes
(Γ λ ) λ∈ .
Soit C une trajectoire orthogonale de (Γ λ ) λ∈ . Supposons que C soit la courbe représentative
d'une fonction y C d'une variable réelle, de classe C
1 . Puisque C coupe orthogonalement
chaque Γ λ , on a, en tout point (x,y) d'une Γ λ :
y
C (x) = −
1
y
Γ λ
(x)
, et donc C satisfait
l'équation différentielle : f
x,y,−
1
y
= 0.
On en déduit la règle pratique suivante :
Soit (Γ λ ) λ∈ une famille de courbes du plan, admettant une équation différentielle
f (x,y,y ) = 0. Une équation différentielle de la famille des trajectoires orthogonales
de (Γ λ ) λ∈ est : f
x,y,−
1
y
= 0.
Autrement dit, on remplace y par −
1
y dans l'ED de (Γ λ ) λ∈ .
Exemples :
1) Déterminer les trajectoires orthogonales de
la famille des droites du plan passant par l'origine.
L'EC générale des droites D λ passant par O (sauf
y y ) est : y = λx .
Une ED de la famille (D λ ) λ∈R est obtenue est éliminant λ dans
y = λx
y = λ
.
C'est donc : y − xy = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
y
x
La menée rigoureuse de l'étude
précédente serait délicate.
Méthode pratique pour déterminer les
trajectoires orthogonales d’une famille
de courbes du plan.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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6.3.6 Exemples de recherche de courbes tracées
sur une surface et satisfaisant une condition
différentielle
Ce § 6.3.6 est destiné aux étudiants de seconde année PT, PT ∗ .
1) Trajectoires orthogonales
Définiton
Soient S une surface, (Γ λ ) λ∈ une famille de courbes tracées sur S. On appelle trajectoire orthogonale de (Γ λ ) λ∈ (sur S) toute courbe C, tracée sur S, et coupant
orthogonalement chacune des Γ λ (λ ∈ ).
Examinons le cas particulier où S est un plan ; on peut, par un changement de r.o.n.d., se ramener au cas où S est le plan x Oy .
Soit (Γ λ ) λ∈ une famille de courbes du plan, indexée par un intervalle de R . Supposons qu'il
existe un ouvert V de R
3 et une application F : V −→ R de classe C
1 sur Vtelle que, pour tout
λ de , Γ λ admette pour EC F(x,y,λ) = 0 .
Supposons qu'en tout point de Γ λ le théorème des fonctions implicites s'applique, et que Γ λ soit
la courbe représentative d'une fonction d'une variable réelle, de classe C
1 .
L'élimination de λ dans
F(x,y,λ) = 0
F
x (x,y,λ) + F
y (x,y,λ)y = 0
donne une relation de la forme
f (x,y,y ) = 0 , appelée équation différentielle (du 1 er ordre) de la famille de courbes
(Γ λ ) λ∈ .
Soit C une trajectoire orthogonale de (Γ λ ) λ∈ . Supposons que C soit la courbe représentative
d'une fonction y C d'une variable réelle, de classe C
1 . Puisque C coupe orthogonalement
chaque Γ λ , on a, en tout point (x,y) d'une Γ λ :
y
C (x) = −
1
y
Γ λ
(x)
, et donc C satisfait
l'équation différentielle : f
x,y,−
1
y
= 0.
On en déduit la règle pratique suivante :
Soit (Γ λ ) λ∈ une famille de courbes du plan, admettant une équation différentielle
f (x,y,y ) = 0. Une équation différentielle de la famille des trajectoires orthogonales
de (Γ λ ) λ∈ est : f
x,y,−
1
y
= 0.
Autrement dit, on remplace y par −
1
y dans l'ED de (Γ λ ) λ∈ .
Exemples :
1) Déterminer les trajectoires orthogonales de
la famille des droites du plan passant par l'origine.
L'EC générale des droites D λ passant par O (sauf
y y ) est : y = λx .
Une ED de la famille (D λ ) λ∈R est obtenue est éliminant λ dans
y = λx
y = λ
.
C'est donc : y − xy = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
y
x
La menée rigoureuse de l'étude
précédente serait délicate.
Méthode pratique pour déterminer les
trajectoires orthogonales d’une famille
de courbes du plan.
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Géométrie
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Gé
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