Chapitre 6 • Géométrie
266
Exemple :
On a vu p. 263 que la surface S de RP



x = u + v cos u
y = v sin u
z = sin u + v
, (u,v) ∈
0;
π
2
× R, est développable.
Avec les notations de l'étude précédente, m(u) = (u,0,sin u),
−−→
G(u) = (cos u,sin u,1), d'où
− −− →
m
(u) = (1,0,cos u) ,
− −− →
G
(u) = (−sin u,cos u,0) .
On obtient alors : λ(u) = cos u, µ(u) = −sin u, d'où : λ(u) − µ (u) = 2 cos u = 0.
L'arête de rebroussement de la surface développable S admet pour RP
u ∈ I −→ φ
u,−µ(u)
, c'est-à-dire :



x = u + sin u cos u
y = sin
2 u
z = 2 sin u.
Exercice-type résolu
Reconnaître, sur une représentation paramétrique, si une surface est réglée, développable
Les surfaces S suivantes, dont on donne une représentation paramétrique, sont-elles réglées, développables ?
a) x = 6 + uv, y = 2u
3 + u
2 v, z = 3u
4 + u
3 v, (u,v) ∈ R
2
b) x = sh u + v ch u, y = ch u + v sh u, z = u
2 + v, (u,v) ∈ R
2 .
Conseils
Cf. Cours § 6.3.5 1) p. 261.
Cf. Cours § 6.3.5 2) p. 263.
Développement par la règle de Sarrus, par
exemple.
Cf. Cours § 6.3.5 1) p. 261.
Cf. Cours § 6.3.5 2) p. 263.
Solution
a) • S admet la représentation paramétrique : φ : (u,v) ∈ R
2
−→ m(u) + v
−−→
G(u),
où m(u) =


6
2u
3
3u
4

 ,
−−→
G(u) =


u
u
2
u
3

 , donc S est réglée.
• Pour voir si S est développable, on calcule, pour tout u ∈ R :
−−→
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
=
0
u
1
6u
2
u
2
2u
12u
3
u
3
3u
2
= u
5 + 24u
5 − 12u
5 − 18u
5 = 0.
On conclut que S est développable.
b) • S admet la représentation paramétrique : φ : (u,v) −→ m(u) + v
−−→
G(u), où
m(u) =


sh u
ch u
u
2

 et
−−→
G(u) =


ch u
sh u
1

 , donc S est réglée.
• Pour voir si S est développable, on calcule, pour tout u ∈ R :
−−→
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
=
ch u ch u sh u
sh u sh u ch u
2u
1
0
= 2u ch
2 u + sh
2 u − 2u sh
2 u − ch
2 u = (2u − 1)(ch
2 u − sh
2 u) = 2u − 1,
qui n'est nul que pour u = 1/2.
On conclut que S n'est pas développable.