6.3 • Surfaces
265
Soit S une surface développable, de RP φ : I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
, où m : I −→ E 3 et
− →
G : I −→ R
3
− {(0,0,0)} sont supposées de classe C
2 .
Supposons que, pour tout u de I,
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
et
− −− →
m
(u),
−−→
G(u)
soient libres.
Puisque S est développable, pour tout u de I,
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
est liée. Il existe donc des
applications λ,µ : I −→ R telles que :
∀u ∈ I,
− −− →
m
(u) = λ(u)
−−→
G(u) + µ(u)
− −− →
G
(u).
En passant aux coordonnées dans R, par exemple, on voit que, puisque m ,G,G sont de classe
C
1 sur I, λ et µ sont de classe C
1 sur I.
Soit u ∈ I. Nous allons montrer que la génératrice de m(u) sur S admet un point non régulier et
un seul. On a, pour tout v de R , en notant S(u) =
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
:
det S(u)
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
= det S(u)
− −− →
m
(u) + v
− −− →
G
(u),
−−→
G(u)
= det S(u)
λ(u)
−−→
G(u) +
µ(u) + v
− −− →
G
(u),
−−→
G(u)
= −
µ(u) + v
.
Ainsi, le point (u,v) de la génératrice de m(u) sur S n'est pas régulier sur S si et seulement si
v = −µ(u).
La courbe Γ de RP u ∈ I −→ φ
u,−µ(u)
, qui est tracée sur S, est appelée l'arête de
rebroussement de la surface développable S.
Notons n : I −→ E 3 l'application définie par :
∀u ∈ I, n(u) = φ
u,−µ(u)
= m(u) − µ(u)
−−→
G(u).
On a, pour tout u de I :
−−→
n
(u) =
− −− →
m
(u) − µ
(u)
−−→
G(u) − µ(u)
− −− →
G
(u) =
λ(u) − µ
(u)
−−→
G(u).
Supposons que tout point de Γ soit régulier sur Γ, c'est-à-dire :
∀u ∈ I, λ(u) − µ
(u) = 0.
Une RP de la surface développable Σ engendrée par les tangentes à Γ est :
(u,v 1 ) ∈ I × R −→ n(u) + v 1
−−→
n
(u) = m(u) +
− µ(u) + v 1
λ(u) − µ
(u)
−−→
G(u).
Comme l'application v 1 −→ −µ(u) + v 1
λ(u) − µ (u)
est (pour u fixé) un C
1 -difféomorphisme de R sur lui-même, une autre RP de Σ est :
I × R −→ E 3
(u,w) −→m(u)+w
− − →
G(u)
,
et donc : Σ = S.
En résumé :
Proposition
Si S est une surface développable de classe C 2 , il existe une courbe Γ tracée sur S,
appelée arête de rebroussement de S, telle que S soit la réunion des tangentes à Γ
(aux hypothèses près signalées dans l'étude précédente).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.