Chapitre 6 • Géométrie
264
Remarque :
Toute surface développable est (par définition) réglée.
La réciproque est fausse ; par exemple, l'hélicoïde droit (cf. 1) Exemple p. 262) est une surface
réglée non développable, puisque, avec les notations précédentes, pour tout u de I :
det
(
− → i , − → j , − → k )
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
=
0 cos u −sin u
0 sin u
cos u
h
0
0
= h = 0.
3) Surface engendrée par les tangentes à une courbe gauche
Soit Γ une courbe gauche, de RP m : I −→ E 3
u −→m(u)
de classe C
2 ,
birégulière.
Considérons, pour tout u de I, la tangente en m(u) à Γ, qui
est la droite passant par m(u) et dirigée par
− −− →
m
(u) .
Considérons la surface réglée S de RP φ : I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
−−→
m (u)
, c'est-à-dire la réunion des tangentes à Γ ; on dit que S est engendrée par les tangentes à la courbe gauche Γ.
On a, pour tout (u,v) de I × R :
− →
∂φ
∂u
(u,v) =
− −− →
m
(u) + v
− −− →
m
(u),
− →
∂φ
∂v
(u,v) =
− −− →
m
(u).
Comme, pour tout u de I,
− −− →
m
(u),
− −− →
m
(u)
est libre, le point M(u,v) de S est régulier si et seulement si v = 0. Autrement dit, l'ensemble des points non réguliers (i.e. stationnaires) de S
est Γ.
Pour tout (u,v) de I × R ∗ , la famille
− −− →
m
(u),
− −− →
m
(u),
− −− →
m
(u)
est liée, donc, d'après le théorème
précédent, S est développable.
De plus, pour tout (u,v) de I × R ∗ , le plan tangent en φ(u,v) à Γ est le plan passant par φ(u,v)
et dirigé par
− −− →
m
(u),
− −− →
m
(u)
; c'est le plan osculateur à Γ en m(u) (cf. 5.1.3 p. 267).
Résumons l'étude.
Théorème 2
Soit Γ une courbe gauche de classe C 2 , birégulière. La surface engendrée par les
tangentes à Γ est une surface développable.
Exemple :
La courbe Γ de RP
x = u
y = u
2
z = u
3
(u ∈ R) est birégulière, et la surface développable engendrée
par les tangentes à Γ admet pour RP
x = u + v
y = u
2
+ v · 2u
z = u
3
+ v · 3u
2
, ou encore :
x = u + v
y = u(u + 2v)
z = u
2
(u + 3v)
, (u,v) ∈ R
2 .
Nous allons étudier une réciproque du théorème précédent.
Γ
m'(u)
m(u)
Cette réciproque n’est pas au programme.
264
Remarque :
Toute surface développable est (par définition) réglée.
La réciproque est fausse ; par exemple, l'hélicoïde droit (cf. 1) Exemple p. 262) est une surface
réglée non développable, puisque, avec les notations précédentes, pour tout u de I :
det
(
− → i , − → j , − → k )
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
=
0 cos u −sin u
0 sin u
cos u
h
0
0
= h = 0.
3) Surface engendrée par les tangentes à une courbe gauche
Soit Γ une courbe gauche, de RP m : I −→ E 3
u −→m(u)
de classe C
2 ,
birégulière.
Considérons, pour tout u de I, la tangente en m(u) à Γ, qui
est la droite passant par m(u) et dirigée par
− −− →
m
(u) .
Considérons la surface réglée S de RP φ : I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
−−→
m (u)
, c'est-à-dire la réunion des tangentes à Γ ; on dit que S est engendrée par les tangentes à la courbe gauche Γ.
On a, pour tout (u,v) de I × R :
− →
∂φ
∂u
(u,v) =
− −− →
m
(u) + v
− −− →
m
(u),
− →
∂φ
∂v
(u,v) =
− −− →
m
(u).
Comme, pour tout u de I,
− −− →
m
(u),
− −− →
m
(u)
est libre, le point M(u,v) de S est régulier si et seulement si v = 0. Autrement dit, l'ensemble des points non réguliers (i.e. stationnaires) de S
est Γ.
Pour tout (u,v) de I × R ∗ , la famille
− −− →
m
(u),
− −− →
m
(u),
− −− →
m
(u)
est liée, donc, d'après le théorème
précédent, S est développable.
De plus, pour tout (u,v) de I × R ∗ , le plan tangent en φ(u,v) à Γ est le plan passant par φ(u,v)
et dirigé par
− −− →
m
(u),
− −− →
m
(u)
; c'est le plan osculateur à Γ en m(u) (cf. 5.1.3 p. 267).
Résumons l'étude.
Théorème 2
Soit Γ une courbe gauche de classe C 2 , birégulière. La surface engendrée par les
tangentes à Γ est une surface développable.
Exemple :
La courbe Γ de RP
x = u
y = u
2
z = u
3
(u ∈ R) est birégulière, et la surface développable engendrée
par les tangentes à Γ admet pour RP
x = u + v
y = u
2
+ v · 2u
z = u
3
+ v · 3u
2
, ou encore :
x = u + v
y = u(u + 2v)
z = u
2
(u + 3v)
, (u,v) ∈ R
2 .
Nous allons étudier une réciproque du théorème précédent.
Γ
m'(u)
m(u)
Cette réciproque n’est pas au programme.