6.3 • Surfaces
263
2) Surfaces développables
Définition
Une surface réglée S est dite développable si et seulement si, pour toute génératrice
G de S, le plan tangent à S en tout point régulier de G est le même.
Notons φ : I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
une RP de S, où m : I −→ E 3 et
− →
G : I −→ R
3
− {(0,0,0)}
sont de classe C k (k 1).
Une génératrice de S est formée des points φ(u,v) où u ∈ I est fixé et v décrit R . Soit donc
u ∈ I fixé.
Supposons que
− −− →
m
(u),
−−→
G(u)
soit libre.
Pour que le plan tangent en tout point régulier de la génératrice m(u) + R
−−→
G(u) soit le même,
il faut et il suffit que, pour tout v de R (tel que (u,v) soit régulier) :
Vect
− −− →
m
(u) + v
− −− →
G
(u),
−−→
G(u)
= Vect
− −− →
m
(u),
−−→
G(u)
.
On voit alors que, si la génératrice admet au moins un point régulier :
− −− →
G
(u) ∈ Vect
− −− →
m
(u),
−−→
G(u)
.
La réciproque est évidente.
Résumons l'étude.
Théorème 1
Soit φ : I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
une RP d'une surface réglée S, où m : I −→ E 3 et
− →
G : I −→ R 3 − {(0,0,0)} sont de classe C 1 . On suppose que, pour tout u de I ,
− −− →
m
(u),
−−→
G(u)
est libre.
Alors, S est développable si et seulement si, pour tout u de I ,
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
est liée.
Exemples :
1) Les cylindres et les cônes (de classe C
1 ) sont des surfaces développables.
2) La surface S de RP



x = u + v cos u
y = v sin u
z = sin u + v
, (u,v) ∈ R
2 , est développable.
En effet, avec les notations précédentes :
• m(u) = (u,0,sin u),
−−→
G(u) = (cos u,sin u,1), donc S est réglée
•
− −− →
m
(u) = (1,0,cos u) , donc
− −− →
m
(u),
−−→
G(u)
est libre pour tout u de R . Tout point de S est
régulier.
• det
(
− → i , − → j , − → k )
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
=
1
cos u −sin u
0
sin u
cos u
cos u
1
0
= cos
3 u + cos u sin
2 u − cos u = 0,
donc
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
est liée, pour tout u de R .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les surfaces développables sont des
surfaces réglées particulières.
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C’est la méthode pratique pour savoir si
une surface réglée est développable.
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