Chapitre 6 • Géométrie
262
Comme, pour u ∈ I fixé, R −→ E 3
v −→m(u)+v
− − →
G(u)
est une RP d'une droite D u , on voit que, plus
simplement, une surface S est réglée si et seulement si elle est réunion d'une « famille »
de droites, S =
u∈I
D u . On dit alors que (D u ) u∈I est une famille de génératrices de la surface réglée S, et que, pour (u,v) ∈ I × R , D u est la génératrice (dans la famille précédente) du point φ(u,v) de S, pour tout v de R .
Proposition
Le plan tangent en un point régulier d'une surface réglée contient la génératrice de ce
point.
Preuve
Notons φ :
I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
une RP de la surface réglée S, où m : I −→ E 3 et
− →
G : I −→ R
3
− {(0,0,0)} sont de classe C
1 sur I. Soit (u,v) ∈ I × R un point régulier de S, c'està-dire tel que
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
soit libre. Comme
− →
∂φ
∂v
(u,v) =
−−→
G(u), le plan tangent en φ(u,v)
à S contient la droite passant par φ(u,v) et dirigée par
−−→
G(u), c'est-à-dire la génératrice de φ(u,v) (ou :
de (u,v)) sur S.
Exemple : Hélicoïde droit
La surface S de RP :
x = v cos u
y = v sin u
z = hu
(h ∈ R
∗ fixé),
appelée hélicoïde droit, est réglée.
En effet, en notant m : R −→ E 3
u −→(0,0,hu)
et
− →
G : R −→ R
3
u −→(cosu,sinu,0)
, S admet la RP
φ : R × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
et on a bien : ∀u ∈ R,
−−→
G(u) =
− →
0 .
Puisque, pour tout (u,v) de R
2 :
− →
∂φ
∂u
(u,v) = (−v sin u,v,cos u,h),
− →
∂φ
∂v
(u,v) = (cos u,sin u,0),
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
est libre.
Ainsi, tout point M(u,v) de S est régulier.
Pour tout v de R ∗
+ , la courbe Γ v de RP φ(·,v), c'est-à-dire u ∈ R −→ (v cos u,v sin u,hu)
est une hélice circulaire à pas constant (cf. 6.2.2 Exemple 1) p. 231), et le plan tangent en
M(u,v) peut être défini par la génératrice de M et la tangente en M à Γ v .
z
O
y
x
S
Graphiquement,on voit que l’hélicoïde
droit est une réunion de droites
s’appuyant d’une part sur z z , d’autre
part sur une hélice.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Les cylindres et les cônes sont des
surfaces réglées.
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Comme, pour u ∈ I fixé, R −→ E 3
v −→m(u)+v
− − →
G(u)
est une RP d'une droite D u , on voit que, plus
simplement, une surface S est réglée si et seulement si elle est réunion d'une « famille »
de droites, S =
u∈I
D u . On dit alors que (D u ) u∈I est une famille de génératrices de la surface réglée S, et que, pour (u,v) ∈ I × R , D u est la génératrice (dans la famille précédente) du point φ(u,v) de S, pour tout v de R .
Proposition
Le plan tangent en un point régulier d'une surface réglée contient la génératrice de ce
point.
Preuve
Notons φ :
I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
une RP de la surface réglée S, où m : I −→ E 3 et
− →
G : I −→ R
3
− {(0,0,0)} sont de classe C
1 sur I. Soit (u,v) ∈ I × R un point régulier de S, c'està-dire tel que
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
soit libre. Comme
− →
∂φ
∂v
(u,v) =
−−→
G(u), le plan tangent en φ(u,v)
à S contient la droite passant par φ(u,v) et dirigée par
−−→
G(u), c'est-à-dire la génératrice de φ(u,v) (ou :
de (u,v)) sur S.
Exemple : Hélicoïde droit
La surface S de RP :
x = v cos u
y = v sin u
z = hu
(h ∈ R
∗ fixé),
appelée hélicoïde droit, est réglée.
En effet, en notant m : R −→ E 3
u −→(0,0,hu)
et
− →
G : R −→ R
3
u −→(cosu,sinu,0)
, S admet la RP
φ : R × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
et on a bien : ∀u ∈ R,
−−→
G(u) =
− →
0 .
Puisque, pour tout (u,v) de R
2 :
− →
∂φ
∂u
(u,v) = (−v sin u,v,cos u,h),
− →
∂φ
∂v
(u,v) = (cos u,sin u,0),
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
est libre.
Ainsi, tout point M(u,v) de S est régulier.
Pour tout v de R ∗
+ , la courbe Γ v de RP φ(·,v), c'est-à-dire u ∈ R −→ (v cos u,v sin u,hu)
est une hélice circulaire à pas constant (cf. 6.2.2 Exemple 1) p. 231), et le plan tangent en
M(u,v) peut être défini par la génératrice de M et la tangente en M à Γ v .
z
O
y
x
S
Graphiquement,on voit que l’hélicoïde
droit est une réunion de droites
s’appuyant d’une part sur z z , d’autre
part sur une hélice.
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Les cylindres et les cônes sont des
surfaces réglées.
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