6.3 • Surfaces
261
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Résolution facile, par exemple, par
combinaison d'équations.
− →
J est normé.
Résolution facile, par exemple, par
combinaison d'équations.
− →
K est normé.
Cf. § 6.3.4 3) p. 253.
Solution
• U =
x
y
z
∈ SEP (Q,9) ⇐⇒ QU = 9U
⇐⇒
5x + 10y + 8z = 9x
10x + 2y − 2z = 9y
8x − 2y + 11z = 9z
⇐⇒
z = −2x
y = 2x
.
Donc SEP (Q,9) est de dimension 1 et admet pour base
− →
(J ), où
− →
J =
1
3
1
2
−2
.
• U =
x
y
z
∈ SEP (Q,18) ⇐⇒ QU = 18U
⇐⇒
5x + 10y + 8z = 18x
10x + 2y − 2z = 18y
8x − 2y + 11z = 18z
⇐⇒
x = 2y
z = 2y
.
Donc SEP (Q,18) est de dimension 1 et admet pour base
−→
(K ), où
− →
K =
1
3
2
1
2
.
Remarquons que l'on pouvait calculer K autrement. Puisque Q est symétrique réelle, les sous-espaces propres de Q sont deux à deux orthogonaux, et on peut donc
prendre pour troisième vecteur :
− →
K =
− →
I ∧
− →
J =
1
9
2
−2
−1
∧
1
2
−2
=
1
9
6
3
6
=
1
3
2
1
2
.
D'après le Cours, une équation cartésienne de S dans le repère orthonormé (direct)
R
= (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) est :
−9ξ
2 + 9ζ
2 + 18η
2 + 9 = 0,
et on obtient l'équation réduite de S, dans R
, avec les notations usuelles :
x
2 − y
2 −
z
2
1/2
= 1.
On conclut : S est un hyperboloïde à deux nappes.
6.3.5 Surfaces réglées, surfaces développables
Ce § 6.3.5 est destiné aux étudiants de seconde année PT, PT ∗ .
1) Surfaces réglées
Définition
Une surface de classe C k (k 1) est dite réglée si et seulement si elle admet une
représentation paramétrique de la forme
φ : I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
,
où m : I −→ E 3 et
− →
G : I −→ R 3 − {(0,0,0)} sont des applications de classe C k
sur un intervalle I de R.
261
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Résolution facile, par exemple, par
combinaison d'équations.
− →
J est normé.
Résolution facile, par exemple, par
combinaison d'équations.
− →
K est normé.
Cf. § 6.3.4 3) p. 253.
Solution
• U =
x
y
z
∈ SEP (Q,9) ⇐⇒ QU = 9U
⇐⇒
5x + 10y + 8z = 9x
10x + 2y − 2z = 9y
8x − 2y + 11z = 9z
⇐⇒
z = −2x
y = 2x
.
Donc SEP (Q,9) est de dimension 1 et admet pour base
− →
(J ), où
− →
J =
1
3
1
2
−2
.
• U =
x
y
z
∈ SEP (Q,18) ⇐⇒ QU = 18U
⇐⇒
5x + 10y + 8z = 18x
10x + 2y − 2z = 18y
8x − 2y + 11z = 18z
⇐⇒
x = 2y
z = 2y
.
Donc SEP (Q,18) est de dimension 1 et admet pour base
−→
(K ), où
− →
K =
1
3
2
1
2
.
Remarquons que l'on pouvait calculer K autrement. Puisque Q est symétrique réelle, les sous-espaces propres de Q sont deux à deux orthogonaux, et on peut donc
prendre pour troisième vecteur :
− →
K =
− →
I ∧
− →
J =
1
9
2
−2
−1
∧
1
2
−2
=
1
9
6
3
6
=
1
3
2
1
2
.
D'après le Cours, une équation cartésienne de S dans le repère orthonormé (direct)
R
= (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) est :
−9ξ
2 + 9ζ
2 + 18η
2 + 9 = 0,
et on obtient l'équation réduite de S, dans R
, avec les notations usuelles :
x
2 − y
2 −
z
2
1/2
= 1.
On conclut : S est un hyperboloïde à deux nappes.
6.3.5 Surfaces réglées, surfaces développables
Ce § 6.3.5 est destiné aux étudiants de seconde année PT, PT ∗ .
1) Surfaces réglées
Définition
Une surface de classe C k (k 1) est dite réglée si et seulement si elle admet une
représentation paramétrique de la forme
φ : I × R −→ E 3
(u,v) −→m(u)+v
− − →
G(u)
,
où m : I −→ E 3 et
− →
G : I −→ R 3 − {(0,0,0)} sont des applications de classe C k
sur un intervalle I de R.