Chapitre 6 • Géométrie
260
Conseils
1458 = 81 · 18.
Pour montrer que Q est inversible, on
pouvait aussi passer par le déterminant :
det (Q) = −1458 = 0.
Méthode : cf. § 6.3.4 2) p. 252.
5x 2
0 + 2y 2
0 + 11z 2
0 + 20x 0 y 0 + 16x 0 z 0
−4y 0 z 0 − 42x 0 + 24y 0 − 24z 0 = 9.
Résolution facile, par exemple, par
combinaison d'équations.
− →
I est normé.
Solution
= −λ
3 + 18λ
2 + 81λ − 1458 = (−λ
3 + 81λ) + 18(λ
2 − 81)
= −(λ
2 − 81)(λ − 18) = −(λ + 9)(λ − 9)(λ − 18).
On obtient : Sp (Q) = {−9, 9, 18}.
En particulier, 0 n'est pas valeur propre de Q, donc Q est inversible. D'après le
Cours (cf. § 6.3.4 2)), S est une quadrique à centre.
2) Recherche du centre de S
Soit Ω ∈ E 3 , (x 0 , y 0 , z 0 ) ses coordonnées dans R. Considérons le repère
R
= (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ). Les formules de changement de repère sont :
x = x 0 + X,
y = y 0 + Y,
z = z 0 + Z ,
pour un point quelconque M de E 3 , de coordonnées (x,y,z) dans R, (X,Y,Z )
dans R
.
En reportant dans l'équation de S dans R, on obtient l'équation de S dans R
:
5(X +x 0 )
2 +2(Y + y 0 )
2 +11(Z +z 0 )
2 +20(X +x 0 )(Y + y 0 )+16(X +x 0 )(Z +z 0 )
−4(Y + y 0 )(Z + z 0 ) − 42(X + x 0 ) + 24(Y + y 0 ) − 24(Z + z 0 ) = 0.
L'annulation des coefficients des termes du premier degré en X,Y,Z équivaut au
système :
10x 0 + 20y 0 + 16z 0 − 42 = 0
20x 0 + 4y 0 − 4z 0 + 24 = 0
16x 0 − 4y 0 + 22z 0 − 24 = 0.
Par résolution de ce système linéaire, on obtient les coordonnées (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ,
dans R, du centre Ω de S :
x 0 = −1,
y 0 = 1,
z 0 = 2.
En remplaçant x 0 ,y 0 ,z 0 par leurs valeurs dans l'équation vue plus haut, on obtient
une équation de S dans R
:
5X
2 + 2Y
2 + 11Z
2 + 20XY + 16X Z − 4Y Z + 9 = 0.
3) Obtention de l'équation réduite de S
On cherche une base de R
3 formée de vecteurs propres de Q.
• U =
x
y
z
∈ SEP (Q,−9) ⇐⇒ QU = −9U
⇐⇒
5x + 10y + 8z = −9x
10x + 2y − 2z = −9y
8x − 2y + 11z = −9z
⇐⇒
x = −2z
y = 2z
.
Donc SEP (Q,−9) est de dimension 1 et admet pour base
− →
(I ), où
− →
I =
1
3
2
−2
−1
.
260
Conseils
1458 = 81 · 18.
Pour montrer que Q est inversible, on
pouvait aussi passer par le déterminant :
det (Q) = −1458 = 0.
Méthode : cf. § 6.3.4 2) p. 252.
5x 2
0 + 2y 2
0 + 11z 2
0 + 20x 0 y 0 + 16x 0 z 0
−4y 0 z 0 − 42x 0 + 24y 0 − 24z 0 = 9.
Résolution facile, par exemple, par
combinaison d'équations.
− →
I est normé.
Solution
= −λ
3 + 18λ
2 + 81λ − 1458 = (−λ
3 + 81λ) + 18(λ
2 − 81)
= −(λ
2 − 81)(λ − 18) = −(λ + 9)(λ − 9)(λ − 18).
On obtient : Sp (Q) = {−9, 9, 18}.
En particulier, 0 n'est pas valeur propre de Q, donc Q est inversible. D'après le
Cours (cf. § 6.3.4 2)), S est une quadrique à centre.
2) Recherche du centre de S
Soit Ω ∈ E 3 , (x 0 , y 0 , z 0 ) ses coordonnées dans R. Considérons le repère
R
= (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ). Les formules de changement de repère sont :
x = x 0 + X,
y = y 0 + Y,
z = z 0 + Z ,
pour un point quelconque M de E 3 , de coordonnées (x,y,z) dans R, (X,Y,Z )
dans R
.
En reportant dans l'équation de S dans R, on obtient l'équation de S dans R
:
5(X +x 0 )
2 +2(Y + y 0 )
2 +11(Z +z 0 )
2 +20(X +x 0 )(Y + y 0 )+16(X +x 0 )(Z +z 0 )
−4(Y + y 0 )(Z + z 0 ) − 42(X + x 0 ) + 24(Y + y 0 ) − 24(Z + z 0 ) = 0.
L'annulation des coefficients des termes du premier degré en X,Y,Z équivaut au
système :
10x 0 + 20y 0 + 16z 0 − 42 = 0
20x 0 + 4y 0 − 4z 0 + 24 = 0
16x 0 − 4y 0 + 22z 0 − 24 = 0.
Par résolution de ce système linéaire, on obtient les coordonnées (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ,
dans R, du centre Ω de S :
x 0 = −1,
y 0 = 1,
z 0 = 2.
En remplaçant x 0 ,y 0 ,z 0 par leurs valeurs dans l'équation vue plus haut, on obtient
une équation de S dans R
:
5X
2 + 2Y
2 + 11Z
2 + 20XY + 16X Z − 4Y Z + 9 = 0.
3) Obtention de l'équation réduite de S
On cherche une base de R
3 formée de vecteurs propres de Q.
• U =
x
y
z
∈ SEP (Q,−9) ⇐⇒ QU = −9U
⇐⇒
5x + 10y + 8z = −9x
10x + 2y − 2z = −9y
8x − 2y + 11z = −9z
⇐⇒
x = −2z
y = 2z
.
Donc SEP (Q,−9) est de dimension 1 et admet pour base
− →
(I ), où
− →
I =
1
3
2
−2
−1
.