6.3 • Surfaces
259
Remarques :
1) Puisque S est de révolution autour de z z , les deux droites D θ , ∆ ϕ tracées sur S et passant
par M 0 sont symétriques l'une de l'autre par rapport au plan contenant z z et M 0 .
2) En notant Π le plan tangent en M 0 à S, et D θ , ∆ ϕ les deux droites tracées sur S et passant
par M 0 , on a : Π ∩ S = D θ ∪ ∆ ϕ .
3) Pour tout (θ 1 ,θ 2 ) de R
2 tel que θ 1 ≡ θ 2 [2π], D θ 1 et D θ 2 ne sont pas coplanaires. De même,
pour tout (ϕ 1 ,ϕ 2 ) de R
2 tel que ϕ 1 ≡ ϕ 2 [2π], ∆ ϕ 1 et ∆ ϕ 2 ne sont pas coplanaires.
4) On peut retrouver les deux familles de droites précédentes par le calcul classique et élégant suivant :
x
2 + y
2 − z
2 = 1 ⇐⇒ (x + z)(x − z) = (1 + y)(1 − y)
⇐⇒
∃λ ∈ R,
x + z = λ(1 + y)
λ(x − z) = 1 − y
⇐⇒
∃µ ∈ R,
x + z = µ(1 − y)
µ(x − z) = 1 + y
.
b) Droites tracées sur un paraboloïde hyperbolique
Considérons un PH S, d'équation réduite :
x
2 − y
2 − 2hz = 0, h > 0 fixé.
Dans le r.o.n.d. R =
O;
1
√
2
(
− →
i −
− →
j ),
1
√
2
(
− →
i +
− →
j ),
− →
k
, obtenu à partir de R par la
rotation d'axe passant par O , dirigé et orienté par
− →
k , d'angle −
π
4
, S admet l'EC suivante, plus
commode ici :
xy − hz = 0.
En raisonnant comme dans a) (le calcul est ici plus simple), les droites tracées sur S sont celles
d'équations :
x = p
py = hz
, p ∈ R,
qx = hz
y = q
, q ∈ R.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Astuce permettant de retrouver les
droites tracées sur S.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
PH = paraboloïde hyperbolique.
Ce changement de repère par rotation
permet de remplacer x 2 − y 2
par 2xy.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 6.2.17 à 6.2.30.
Exercice-type résolu
Détermination de la nature et d'une équation réduite pour une quadrique donnée par son équation cartésienne
On considère la quadrique S, d'équation cartésienne, dans un repère orthonormé R = (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) :
5x
2 + 2y
2 + 11z
2 + 20xy + 16xz − 4yz − 42x + 24y − 24z = 0.
Déterminer un repère orthonormé dans lequel S admet une équation réduite, former cette équation réduite, et préciser la nature de S.
Conseils
Cf. § 6.3.4 2). La matrice Q est la matrice,
dans la base canonique de R 3 , de la forme
quadratique qui, au triplet (x,y,z) de R 3 ,
associe :
5x
2 + 2y
2 + 11z
2 + 20xy + 16xz − 4yz.
Développement d'un déterminant
d'ordre 3 par la règle de Sarrus, par
exemple.
Solution
Notons Q la matrice symétrique associée : Q =
5 10
8
10 2 −2
8 −2 11
.
1) Détermination des valeurs propres de Q
On forme le polynôme caractéristique de Q :
χ Q (λ) =
5 − λ
10
8
10
2 − λ
−2
8
−2
11− λ
= (5 − λ)(2 − λ)(11 − λ) − 320 − 64(2 − λ) − 4(5 − λ) − 100(11 − λ)
= (10 − 7λ + λ
2 )(11 − λ) + 168λ − 1568
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Remarques :
1) Puisque S est de révolution autour de z z , les deux droites D θ , ∆ ϕ tracées sur S et passant
par M 0 sont symétriques l'une de l'autre par rapport au plan contenant z z et M 0 .
2) En notant Π le plan tangent en M 0 à S, et D θ , ∆ ϕ les deux droites tracées sur S et passant
par M 0 , on a : Π ∩ S = D θ ∪ ∆ ϕ .
3) Pour tout (θ 1 ,θ 2 ) de R
2 tel que θ 1 ≡ θ 2 [2π], D θ 1 et D θ 2 ne sont pas coplanaires. De même,
pour tout (ϕ 1 ,ϕ 2 ) de R
2 tel que ϕ 1 ≡ ϕ 2 [2π], ∆ ϕ 1 et ∆ ϕ 2 ne sont pas coplanaires.
4) On peut retrouver les deux familles de droites précédentes par le calcul classique et élégant suivant :
x
2 + y
2 − z
2 = 1 ⇐⇒ (x + z)(x − z) = (1 + y)(1 − y)
⇐⇒
∃λ ∈ R,
x + z = λ(1 + y)
λ(x − z) = 1 − y
⇐⇒
∃µ ∈ R,
x + z = µ(1 − y)
µ(x − z) = 1 + y
.
b) Droites tracées sur un paraboloïde hyperbolique
Considérons un PH S, d'équation réduite :
x
2 − y
2 − 2hz = 0, h > 0 fixé.
Dans le r.o.n.d. R =
O;
1
√
2
(
− →
i −
− →
j ),
1
√
2
(
− →
i +
− →
j ),
− →
k
, obtenu à partir de R par la
rotation d'axe passant par O , dirigé et orienté par
− →
k , d'angle −
π
4
, S admet l'EC suivante, plus
commode ici :
xy − hz = 0.
En raisonnant comme dans a) (le calcul est ici plus simple), les droites tracées sur S sont celles
d'équations :
x = p
py = hz
, p ∈ R,
qx = hz
y = q
, q ∈ R.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Astuce permettant de retrouver les
droites tracées sur S.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
PH = paraboloïde hyperbolique.
Ce changement de repère par rotation
permet de remplacer x 2 − y 2
par 2xy.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 6.2.17 à 6.2.30.
Exercice-type résolu
Détermination de la nature et d'une équation réduite pour une quadrique donnée par son équation cartésienne
On considère la quadrique S, d'équation cartésienne, dans un repère orthonormé R = (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) :
5x
2 + 2y
2 + 11z
2 + 20xy + 16xz − 4yz − 42x + 24y − 24z = 0.
Déterminer un repère orthonormé dans lequel S admet une équation réduite, former cette équation réduite, et préciser la nature de S.
Conseils
Cf. § 6.3.4 2). La matrice Q est la matrice,
dans la base canonique de R 3 , de la forme
quadratique qui, au triplet (x,y,z) de R 3 ,
associe :
5x
2 + 2y
2 + 11z
2 + 20xy + 16xz − 4yz.
Développement d'un déterminant
d'ordre 3 par la règle de Sarrus, par
exemple.
Solution
Notons Q la matrice symétrique associée : Q =
5 10
8
10 2 −2
8 −2 11
.
1) Détermination des valeurs propres de Q
On forme le polynôme caractéristique de Q :
χ Q (λ) =
5 − λ
10
8
10
2 − λ
−2
8
−2
11− λ
= (5 − λ)(2 − λ)(11 − λ) − 320 − 64(2 − λ) − 4(5 − λ) − 100(11 − λ)
= (10 − 7λ + λ
2 )(11 − λ) + 168λ − 1568