Chapitre 6 • Géométrie
258
5) Exemples de recherche de droites tracées sur une quadrique
Nous allons envisager les cas de l'hyperboloïde de révolution à une nappe et du paraboloïde
hyperbolique.
a) Droites tracées sur un hyperboloïde de révolution à une nappe
Considérons un H 1 de révolution S, d'équation réduite :
x
2 + y
2 − z
2 = 1.
Soit D une droite de l'espace.
Si D est horizontale, dans un plan z = h (h ∈ R), alors, comme l'intersection de S avec le plan
z = h est le cercle
x
2
+ y
2
= 1 + h
2
z = h
, il est clair que D n'est pas incluse dans S.
Supposons donc D non horizontale ; D admet un SEC
x = az + p
y = bz + q
, (a,b, p,q) ∈ R
4 .
On a : D ⊂ S ⇐⇒
∀z ∈ R, (az + p)
2 + (bz + q)
2 − z
2 − 1 = 0
⇐⇒
a
2 + b
2 = 1, ap + bq = 0, p
2 + q
2 = 1
.
Considérons la matrice Ω =
a p
b q
de M 2 (R) ; on a donc :
D ⊂ S ⇐⇒ Ω ∈ O 2 (R).
D'après l'étude du groupe orthogonal en dimension 2 (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 10.4 Prop. 1) :
O 2 (R) =
cos θ −sin θ
sin θ
cos θ
; θ ∈ R
∪
cos ϕ
sin ϕ
sin ϕ −cos ϕ
; ϕ ∈ R
.
En notant, pour θ,ϕ ∈ R :
D θ
x = z cos θ − sin θ
y = z sin θ + cos θ
,
∆ ϕ
x = z cos ϕ + sin ϕ
y = z sin ϕ − cos ϕ
,
on conclut que les droites tracées sur S sont les D θ (θ ∈ R) et les ∆ ϕ (ϕ ∈ R) .
Soit M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ∈ S. Il existe une droite D θ et une droite ∆ ϕ uniques passant par S. En effet,
on a :
•
x 0 = z 0 cos θ − sin θ
y 0 = z 0 sin θ + cos θ
⇐⇒
x 0 z 0 + y 0 = (1 + z
2
0 )cos θ
x 0 − y 0 z 0 = (1 + z
2
0 )sin θ
,
et ce dernier système d'équations admet une solution θ unique (modulo 2π), puisque :
(x 0 z 0 + y 0 )
2 + (x 0 − y 0 z 0 )
2 = (x
2
0 + y
2
0 )(1 + z
2
0 ) = (1 + z
2
0 )
4
•
x 0 = z 0 cos ϕ + sin ϕ
y 0 = z 0 sin ϕ − cos ϕ
⇐⇒
x 0 z 0 − y 0 = (1 + z
2
0 )cos ϕ
x 0 + y 0 z 0 = (1 + z
2
0 )sin ϕ
,
et, de même, ce dernier système d'équations admet une solution ϕ unique (modulo 2π).
H 1 = hyperboloïde à une nappe.
Un cercle ne contient aucune droite.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Considérons les inconnues a, b, p, q
comme formant une matrice carrée
d’ordre 2.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Description du groupe O 2 (R).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
z
O
y
x
M 0
S
On dit que S est une surface
doublement réglée : S est, de deux
façons, une réunion de droites.
258
5) Exemples de recherche de droites tracées sur une quadrique
Nous allons envisager les cas de l'hyperboloïde de révolution à une nappe et du paraboloïde
hyperbolique.
a) Droites tracées sur un hyperboloïde de révolution à une nappe
Considérons un H 1 de révolution S, d'équation réduite :
x
2 + y
2 − z
2 = 1.
Soit D une droite de l'espace.
Si D est horizontale, dans un plan z = h (h ∈ R), alors, comme l'intersection de S avec le plan
z = h est le cercle
x
2
+ y
2
= 1 + h
2
z = h
, il est clair que D n'est pas incluse dans S.
Supposons donc D non horizontale ; D admet un SEC
x = az + p
y = bz + q
, (a,b, p,q) ∈ R
4 .
On a : D ⊂ S ⇐⇒
∀z ∈ R, (az + p)
2 + (bz + q)
2 − z
2 − 1 = 0
⇐⇒
a
2 + b
2 = 1, ap + bq = 0, p
2 + q
2 = 1
.
Considérons la matrice Ω =
a p
b q
de M 2 (R) ; on a donc :
D ⊂ S ⇐⇒ Ω ∈ O 2 (R).
D'après l'étude du groupe orthogonal en dimension 2 (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 10.4 Prop. 1) :
O 2 (R) =
cos θ −sin θ
sin θ
cos θ
; θ ∈ R
∪
cos ϕ
sin ϕ
sin ϕ −cos ϕ
; ϕ ∈ R
.
En notant, pour θ,ϕ ∈ R :
D θ
x = z cos θ − sin θ
y = z sin θ + cos θ
,
∆ ϕ
x = z cos ϕ + sin ϕ
y = z sin ϕ − cos ϕ
,
on conclut que les droites tracées sur S sont les D θ (θ ∈ R) et les ∆ ϕ (ϕ ∈ R) .
Soit M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ∈ S. Il existe une droite D θ et une droite ∆ ϕ uniques passant par S. En effet,
on a :
•
x 0 = z 0 cos θ − sin θ
y 0 = z 0 sin θ + cos θ
⇐⇒
x 0 z 0 + y 0 = (1 + z
2
0 )cos θ
x 0 − y 0 z 0 = (1 + z
2
0 )sin θ
,
et ce dernier système d'équations admet une solution θ unique (modulo 2π), puisque :
(x 0 z 0 + y 0 )
2 + (x 0 − y 0 z 0 )
2 = (x
2
0 + y
2
0 )(1 + z
2
0 ) = (1 + z
2
0 )
4
•
x 0 = z 0 cos ϕ + sin ϕ
y 0 = z 0 sin ϕ − cos ϕ
⇐⇒
x 0 z 0 − y 0 = (1 + z
2
0 )cos ϕ
x 0 + y 0 z 0 = (1 + z
2
0 )sin ϕ
,
et, de même, ce dernier système d'équations admet une solution ϕ unique (modulo 2π).
H 1 = hyperboloïde à une nappe.
Un cercle ne contient aucune droite.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Considérons les inconnues a, b, p, q
comme formant une matrice carrée
d’ordre 2.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Description du groupe O 2 (R).
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Géométrie
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Mon ier Algèbre Géomé
Gé
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z
O
y
x
M 0
S
On dit que S est une surface
doublement réglée : S est, de deux
façons, une réunion de droites.