1.3 • Dualité
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1.3 Dualité
1.3.1 Généralités
Dans ce § 1.3.1, E désigne un K-ev.
Rappelons une Définition :
Définition
On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K. On note E ∗
l'ensemble des formes linéaires sur E ; E ∗ est appelé le dual de E.
Exemples :
1) Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1, B = (e 1 ,...,e n ) une base de E .
Pour tout x de E , il existe (x 1 , …, x n ) ∈ K n unique tel que x =
n
i=1
x i e i . Il est alors clair
que, pour chaque i de {1,...,n}, l'application e ∗
i : E −→ K
x −→ x i
est une forme linéaire sur E ,
appelée i `
eme forme-coordonnée sur la base B . Voir aussi plus loin, § 1.3.3 1) p. 16.
2) Soient (a,b) ∈ R 2 , tel que a b , E le C -ev des applications continues par morceaux de
[a; b] dans C .
L'application µ : E −→ C
f −→
b
a
f
est une forme linéaire sur E .
3) Soit X un ensemble non vide. Pour chaque a de X, l'application E a : K X −→ K
f −→ f (a)
est une
forme linéaire sur le K-ev K X , appelé évaluation en a.
Rappelons :
Proposition
E ∗ est un K-ev.
1.2.1 Soient E,F deux K-ev de dimensions finies,
f,g ∈ L(E,F). Montrer :
dim (Ker ( f + g))
dim (Ker ( f ) ∩ Ker (g)) + dim (Im ( f ) ∩ Im (g)).
1.2.2 Soient E,F des K-ev, f ∈ L(E,F), g ∈ L(F,E).
Montrer :
a) Id F − f ◦ g injective ⇐⇒ Id E − g ◦ f injective
b) Id F − f ◦ g surjective ⇐⇒ Id E − g ◦ f surjective
c) Id F − f ◦ g bijective ⇐⇒ Id E − g ◦ f bijective.
1.2.3 Soit E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E).
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) f ∈ GL(E)
(ii) pour tous sev A, B de E supplémentaires dans E, les
sev f (A), f (B) sont supplémentaires dans E.
1.2.4 Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E).
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) il existe deux projecteurs p,q de E tels que :
f = p − q et Im ( p) = Im (q)
(ii) f 2 = 0.
Exercices
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 7.1.1 Déf. 3.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On a donc : E ∗ = L(E,K ).
Cf.Algèbre PCSI-PTSI,7.1.1 3) Exemple 6).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cas particulier de : Algèbre PCSI-PTSI,
7.2.1 Prop.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 1.3.1 et 1.3.2.
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1.3 Dualité
1.3.1 Généralités
Dans ce § 1.3.1, E désigne un K-ev.
Rappelons une Définition :
Définition
On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K. On note E ∗
l'ensemble des formes linéaires sur E ; E ∗ est appelé le dual de E.
Exemples :
1) Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1, B = (e 1 ,...,e n ) une base de E .
Pour tout x de E , il existe (x 1 , …, x n ) ∈ K n unique tel que x =
n
i=1
x i e i . Il est alors clair
que, pour chaque i de {1,...,n}, l'application e ∗
i : E −→ K
x −→ x i
est une forme linéaire sur E ,
appelée i `
eme forme-coordonnée sur la base B . Voir aussi plus loin, § 1.3.3 1) p. 16.
2) Soient (a,b) ∈ R 2 , tel que a b , E le C -ev des applications continues par morceaux de
[a; b] dans C .
L'application µ : E −→ C
f −→
b
a
f
est une forme linéaire sur E .
3) Soit X un ensemble non vide. Pour chaque a de X, l'application E a : K X −→ K
f −→ f (a)
est une
forme linéaire sur le K-ev K X , appelé évaluation en a.
Rappelons :
Proposition
E ∗ est un K-ev.
1.2.1 Soient E,F deux K-ev de dimensions finies,
f,g ∈ L(E,F). Montrer :
dim (Ker ( f + g))
dim (Ker ( f ) ∩ Ker (g)) + dim (Im ( f ) ∩ Im (g)).
1.2.2 Soient E,F des K-ev, f ∈ L(E,F), g ∈ L(F,E).
Montrer :
a) Id F − f ◦ g injective ⇐⇒ Id E − g ◦ f injective
b) Id F − f ◦ g surjective ⇐⇒ Id E − g ◦ f surjective
c) Id F − f ◦ g bijective ⇐⇒ Id E − g ◦ f bijective.
1.2.3 Soit E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E).
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) f ∈ GL(E)
(ii) pour tous sev A, B de E supplémentaires dans E, les
sev f (A), f (B) sont supplémentaires dans E.
1.2.4 Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E).
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) il existe deux projecteurs p,q de E tels que :
f = p − q et Im ( p) = Im (q)
(ii) f 2 = 0.
Exercices
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 7.1.1 Déf. 3.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On a donc : E ∗ = L(E,K ).
Cf.Algèbre PCSI-PTSI,7.1.1 3) Exemple 6).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cas particulier de : Algèbre PCSI-PTSI,
7.2.1 Prop.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 1.3.1 et 1.3.2.