Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
12
Exercice-type résolu
Une caractérisation des endomorphismes vérifiant Im(f ) = Ker(f )
Soient E un K-ev de dimension finie, e = Id E , f ∈ L(E). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) Im ( f ) = Ker ( f )
(2) f ◦ f = 0 et il existe h ∈ L(E) tel que : h ◦ f + f ◦ h = e.
Conseils
On commence par l'implication la plus
facile, c'est-à-dire celle pour laquelle
l'hypothèse paraît la plus forte.
Puisque h est linéaire et que x ∈ Ker ( f ),
on a :
h
f (x)
= h(0) = 0.
Existence d'un supplémentaire en dimension finie.
Définition d'une application linéaire sur E
par la donnée de ses restrictions à deux sev
de E supplémentaires dans E.
Puisque ϕ −1 (y) ∈ F et que ϕ est la restriction de f à F, on a :
f
ϕ
−1 (y)
= ϕ
ϕ
−1 (y)
.
Puisque f (z) ∈ Im ( f ) = Ker ( f ), on a :
h
f (z)
= ϕ
−1
f (z)
,
et, comme z ∈ F, on a : f (z) = ϕ(z).
Solution
(2) ⇒ (1) :
On suppose : f ◦ f = 0 et il existe h ∈ L(E) tel que : h ◦ f + f ◦ h = e.
• On a : ∀ x ∈ E, f
f (x)
= 0, donc : Im ( f ) ⊂ Ker ( f ).
• Soit x ∈ Ker ( f ). On a :
x = (h ◦ f + f ◦ h)(x) = h
f (x)
+ f
h(x)
= f
h(x)
∈ Im ( f ),
d'où : Ker ( f ) ⊂ Im ( f ).
On conclut : Im ( f ) = Ker ( f ).
(1) ⇒ (2) :
On suppose : Im ( f ) = Ker ( f ).
• On a : ∀ x ∈ E, ( f ◦ f )(x) = f
f (x)
= f (0) = 0, donc : f ◦ f = 0.
• Puisque E est de dimension finie, le sev Ker ( f ) de E admet au moins un supplémentaire F dans E : E = Ker ( f ) ⊕ F.
D'après le théorème d'isomorphisme, l'application
ϕ : F −→ Im ( f ), x −→ ϕ(x) = f (x)
est un isomorphisme d'ev.
Considérons l'application linéaire h : E −→ E définie sur les sev supplémentaires
Ker ( f ) et F par :
∀ y ∈ Ker ( f ), h(y) = ϕ
−1
(y)
∀ z ∈ F, h(z) = 0.
Montrons que h convient.
• On a, pour tout y ∈ Ker ( f ) :
(h ◦ f + f ◦ h)(y) = h
f (y)
+ f
h(y)
= h(0) + f
ϕ
−1 (y)
= ϕ
ϕ
−1 (y)
= y.
On a, pour tout z ∈ F :
(h ◦ f + f ◦ h)(z) = h
f (z)
+ f
h(z)
= ϕ
−1
ϕ(z)
+ f (0) = z.
Comme E = Ker ( f ) ⊕ F et que les applications linéaires h ◦ f + f ◦ h et e coïncident sur Ker ( f ) et sur F, on conclut : h ◦ f + f ◦ h = e.
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Exercice-type résolu
Une caractérisation des endomorphismes vérifiant Im(f ) = Ker(f )
Soient E un K-ev de dimension finie, e = Id E , f ∈ L(E). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) Im ( f ) = Ker ( f )
(2) f ◦ f = 0 et il existe h ∈ L(E) tel que : h ◦ f + f ◦ h = e.
Conseils
On commence par l'implication la plus
facile, c'est-à-dire celle pour laquelle
l'hypothèse paraît la plus forte.
Puisque h est linéaire et que x ∈ Ker ( f ),
on a :
h
f (x)
= h(0) = 0.
Existence d'un supplémentaire en dimension finie.
Définition d'une application linéaire sur E
par la donnée de ses restrictions à deux sev
de E supplémentaires dans E.
Puisque ϕ −1 (y) ∈ F et que ϕ est la restriction de f à F, on a :
f
ϕ
−1 (y)
= ϕ
ϕ
−1 (y)
.
Puisque f (z) ∈ Im ( f ) = Ker ( f ), on a :
h
f (z)
= ϕ
−1
f (z)
,
et, comme z ∈ F, on a : f (z) = ϕ(z).
Solution
(2) ⇒ (1) :
On suppose : f ◦ f = 0 et il existe h ∈ L(E) tel que : h ◦ f + f ◦ h = e.
• On a : ∀ x ∈ E, f
f (x)
= 0, donc : Im ( f ) ⊂ Ker ( f ).
• Soit x ∈ Ker ( f ). On a :
x = (h ◦ f + f ◦ h)(x) = h
f (x)
+ f
h(x)
= f
h(x)
∈ Im ( f ),
d'où : Ker ( f ) ⊂ Im ( f ).
On conclut : Im ( f ) = Ker ( f ).
(1) ⇒ (2) :
On suppose : Im ( f ) = Ker ( f ).
• On a : ∀ x ∈ E, ( f ◦ f )(x) = f
f (x)
= f (0) = 0, donc : f ◦ f = 0.
• Puisque E est de dimension finie, le sev Ker ( f ) de E admet au moins un supplémentaire F dans E : E = Ker ( f ) ⊕ F.
D'après le théorème d'isomorphisme, l'application
ϕ : F −→ Im ( f ), x −→ ϕ(x) = f (x)
est un isomorphisme d'ev.
Considérons l'application linéaire h : E −→ E définie sur les sev supplémentaires
Ker ( f ) et F par :
∀ y ∈ Ker ( f ), h(y) = ϕ
−1
(y)
∀ z ∈ F, h(z) = 0.
Montrons que h convient.
• On a, pour tout y ∈ Ker ( f ) :
(h ◦ f + f ◦ h)(y) = h
f (y)
+ f
h(y)
= h(0) + f
ϕ
−1 (y)
= ϕ
ϕ
−1 (y)
= y.
On a, pour tout z ∈ F :
(h ◦ f + f ◦ h)(z) = h
f (z)
+ f
h(z)
= ϕ
−1
ϕ(z)
+ f (0) = z.
Comme E = Ker ( f ) ⊕ F et que les applications linéaires h ◦ f + f ◦ h et e coïncident sur Ker ( f ) et sur F, on conclut : h ◦ f + f ◦ h = e.