1.2 • Applications linéaires
11
1.2.3 Théorème du rang
Définition
Soient E,F deux K-ev, u ∈ L(E,F). On suppose que F est de dimension finie. On
appelle rang de u, et on note rg (u), la dimension de Im (u).
Le théorème suivant résulte directement de 1.2.1 Th (théorème d’isomorphisme).
Théorème
Théorème du rang
Soient E,F deux K-ev de dimensions finies, u ∈ L(E,F).
On a :
rg (u) = dim (E) − dim
Ker (u)
.
Proposition
Soient E,F,G,H des K-ev de dimensions finies, f ∈ L(E,F), u ∈ L(F,G),
g ∈ L(G,H ).
Si f et g sont des isomorphismes, alors :
rg (g ◦ u ◦ f ) = rg (u).
En particulier :
si f est un isomorphisme, alors : rg (u ◦ f ) = rg (u)
si g est un isomorphisme, alors : rg (g ◦ u) = rg (u).
On dit que le rang est invariant par composition avec un isomorphisme.
Preuve
1) Montrons d'abord que, pour tous K-ev E,F,G de dimensions finies et toutes applications linéaires
f ∈ L(E,F), g ∈ L(F,G) :
rg (g ◦ f ) Min (rg ( f ), rg (g)).
• On a : Im (g ◦ f ) ⊂ Im (g), d'où :
rg (g ◦ f ) = dim (Im (g ◦ f )) dim (Im (g)) = rg (g).
• On a : Ker (g ◦ f ) ⊃ Ker ( f ), d'où, en utilisant deux fois le théorème du rang :
rg (g ◦ f ) = dim (E) − dim (Ker (g ◦ f )) dim (E) − dim (Ker ( f )) = rg ( f ).
2) Avec les hypothèses de la Proposition, on a :
rg (g ◦ u ◦ f ) rg (g ◦ u) rg (u)
et :
rg (u) = rg (g
−1 ◦ (g ◦ u ◦ f ) ◦ f
−1 ) rg (g ◦ u ◦ f ),
d'où :
rg (g ◦ u ◦ f ) = rg (u).
Cette définition généralise celle vue en
1 re année, Algèbre PCSI-PTSI, § 7.3.1.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On retrouve en particulier le théorème
du rang vu en 1 re année, Algèbre PCSIPTSI, § 7.3.1 Théorème 1.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Obtention d’un résultat plus général,qui
n’est pas au programme,mais serait bien
utile.
On applique le théorème du rang à
g ◦ f et à f.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Puisque f et g sont des isomorphismes,
f −1 et g −1 existent et
f −1 ∈ L(F,E), g −1 ∈ L(G,F) .
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Exercices 1.2.1 à 1.2.4.
11
1.2.3 Théorème du rang
Définition
Soient E,F deux K-ev, u ∈ L(E,F). On suppose que F est de dimension finie. On
appelle rang de u, et on note rg (u), la dimension de Im (u).
Le théorème suivant résulte directement de 1.2.1 Th (théorème d’isomorphisme).
Théorème
Théorème du rang
Soient E,F deux K-ev de dimensions finies, u ∈ L(E,F).
On a :
rg (u) = dim (E) − dim
Ker (u)
.
Proposition
Soient E,F,G,H des K-ev de dimensions finies, f ∈ L(E,F), u ∈ L(F,G),
g ∈ L(G,H ).
Si f et g sont des isomorphismes, alors :
rg (g ◦ u ◦ f ) = rg (u).
En particulier :
si f est un isomorphisme, alors : rg (u ◦ f ) = rg (u)
si g est un isomorphisme, alors : rg (g ◦ u) = rg (u).
On dit que le rang est invariant par composition avec un isomorphisme.
Preuve
1) Montrons d'abord que, pour tous K-ev E,F,G de dimensions finies et toutes applications linéaires
f ∈ L(E,F), g ∈ L(F,G) :
rg (g ◦ f ) Min (rg ( f ), rg (g)).
• On a : Im (g ◦ f ) ⊂ Im (g), d'où :
rg (g ◦ f ) = dim (Im (g ◦ f )) dim (Im (g)) = rg (g).
• On a : Ker (g ◦ f ) ⊃ Ker ( f ), d'où, en utilisant deux fois le théorème du rang :
rg (g ◦ f ) = dim (E) − dim (Ker (g ◦ f )) dim (E) − dim (Ker ( f )) = rg ( f ).
2) Avec les hypothèses de la Proposition, on a :
rg (g ◦ u ◦ f ) rg (g ◦ u) rg (u)
et :
rg (u) = rg (g
−1 ◦ (g ◦ u ◦ f ) ◦ f
−1 ) rg (g ◦ u ◦ f ),
d'où :
rg (g ◦ u ◦ f ) = rg (u).
Cette définition généralise celle vue en
1 re année, Algèbre PCSI-PTSI, § 7.3.1.
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On retrouve en particulier le théorème
du rang vu en 1 re année, Algèbre PCSIPTSI, § 7.3.1 Théorème 1.
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Obtention d’un résultat plus général,qui
n’est pas au programme,mais serait bien
utile.
On applique le théorème du rang à
g ◦ f et à f.
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Puisque f et g sont des isomorphismes,
f −1 et g −1 existent et
f −1 ∈ L(F,E), g −1 ∈ L(G,F) .
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Exercices 1.2.1 à 1.2.4.