Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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• Soit x ∈ Ker (u ). On a alors x ∈ E et x ∈ Ker (u), d'où, puisque E est un supplémentaire de
Ker (u) dans E , x = 0. Ceci montre Ker (u ) = {0} , et donc u est injective.
• Soit y ∈ Im (u). Il existe x ∈ E tel que y = u(x). Puisque E = E + Ker (u), il existe
x ∈ E , t ∈ Ker (u) tels que x = x + t. On a alors :
y = u(x) = u(x
+ t) = u(x
) + u(t) = u(x
) = u
(x
).
Ceci montre que u est surjective.
Finalement, u est un isomorphisme d'ev.
᭿
1.2.2 Interpolation de Lagrange
Proposition
Interpolation de Lagrange
Soient n ∈ N, a 0 ,...,a n ∈ K deux à deux distincts, u :
K [X] −→ K n+1
P −→ (P(a 0 ),...,P(a n ))
, qui
est linéaire. Alors :
• Ker (u) est l'ensemble des multiples du polynôme
n
j=0
(X − a j )
• La restriction de u à K n [X] est un isomorphisme d'ev de K n [X] sur K n+1
• Pour tout (b 0 ,...,b n ) ∈ K n+1 , il existe un polynôme P et un seul de K n [X] tel que :
∀ j ∈ {0,...,n}, P(a j ) = b j .
On dit que P interpole les valeurs b j (0 j n) en les points (ou : noeuds)
a j (0 j n).
Preuve
• Soit P ∈ K [X]. On a :
P ∈ Ker (u) ⇐⇒
P(a 0 ),...,P(a n )
= (0,...,0) ⇐⇒
∀ j ∈ {0,...,n}, P(a j ) = 0
⇐⇒
∀ j ∈ {0,...,n}, X − a j | P
⇐⇒
n
j=0
(X − a j )
P,
puisque a 0 ,...,a n sont deux à deux distincts.
• Notons M =
n
j=0
(X − a j ). Il est clair que deg (M) = n + 1. D'après § 1.1.2 Prop. 3, K n [X] est un
supplémentaire de M K[X] dans K [X], donc, d'après le Théorème d’isomorphisme, l'application
u : K [X] −→ Im (u)
P −→u(P)
est un isomorphisme d'ev. Comme dim (K n [X]) = n + 1,
on a donc dim
Im (u)
= n + 1. Mais Im (u) ⊂ K n+1 et dim (K n+1 ) = n + 1.
Il en résulte : Im (u) = K n+1 , et donc u est un isomorphisme d'ev de K n [X] sur K n+1 .
• Soit (b 0 ,...,b n ) ∈ K n+1 . D'après le résultat précédent, il existe P ∈ K n [X] unique tel que :
∀ j ∈ {0,...,n}, P(a j ) = b j .
᭿
E ∩ Ker(u) = {0}.
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La linéarité de u est immédiate.
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L’indexation du produit commence à
l’indice 0.
On peut exprimer P en faisant intervenir
les polynômes d’interpolation de
Lagrange,cf.plus loin § 1.3.3 Exemple 2).
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