1.2 • Applications linéaires
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1.2 Applications linéaires
1.2.1 Théorème d’isomorphisme
Théorème
Théorème d’isomorphisme
Soient E,F deux K-ev, u ∈ L(E,F), E un supplémentaire de Ker (u) dans E.
L'application E −→ Im (u)
x −→ u(x)
est un isomorphisme de K-ev.
Preuve
Notons u : E −→ Im (u)
x −→ u(x)
.
• D'abord, u est correctement définie, car, pour tout x ∈ E ⊂ E, on a u(x) ∈ Im (u).
• L'application u est linéaire car, pour tout α ∈ K et tous x,y ∈ E :
u
(αx + y) = u(αx + y) = αu(x) + u(y) = αu
(x) + u
(y).
Conseils
Théorème de la base incomplète,
cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 6.4. 1) Th. 2.
La réunion est ordonnée.
Cf. le point 1) de la preuve de la Prop. 2
p. 6.
Si une famille finie engendre un sev et a un
cardinal égal à la dimension de ce sev,
alors cette famille est une base de ce sev.
Toute sous-famille d'une famille libre est
libre.
Solution
Pour chaque i ∈ I, il existe une base B i de E i , commençant par x i si x i = 0, et
quelconque si x i = 0.
Notons : B =
i∈I
B i .
Puisque, pour tout i ∈ I, B i engendre E i , B engendre
i∈i
E i .
D'autre part :
Card (B) =
i∈I
Card (B i ) =
i∈I
dim (E i ) = dim
i∈I
E i
.
Il en résulte que B est une base de
i∈I
E i .
Notons J =
i ∈ I ; x i = 0
.
Si J = ∅, alors (x i ) i∈I est liée, car par hypothèse
i∈J
x i =
i∈I
x i = 0,
en contradiction avec (x i ) i∈I sous-famille de la base B.
Ceci montre que : ∀ i ∈ I, x i = 0,
et on conclut que la somme
i∈I
E i est directe.
1.1.1 Soient E un K-ev, A,B,C des sev de E tels que B ⊂ C.
Montrer :
(A + B) ∩ C = (A ∩ C) + B.
Exercice
Ainsi, tout supplémentaire de Ker(u)
dans E est isomorphe à Im(u) .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier