Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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De plus, on a alors, en notant ( p i ) i∈I la famille de projecteurs canoniquement associée à la décomposition de E en somme directe E =
i∈I
E i :
∀x ∈ E, u(x) =
i∈I
u i
p i (x)
.
Définition 5
Soient E un K-ev de dimension finie, B une base de E.
1) Soit F un sev de E. On dit que B est adaptée à F si et seulement si B « commence »
par une base de F.
2) Soit (E i ) i∈I une famille finie de sev de E telle que E =
i∈I
E i . On dit que B est
adaptée à la décomposition de E en somme directe E =
i∈I
E i si et seulement s'il
existe une famille (B i ) i∈I où, pour tout i ∈ I, B i est une base de E i , telle que
B =
i∈I
B i (la réunion étant « ordonnée »).
Remarque :
D'après la preuve de la Proposition 2, si E =
i∈I
E i , et si, pour chaque i ∈ I, B i est une base
de E i , alors
i∈I
B i est une base de E adaptée à la décompostion de E en somme directe
E =
i∈I
E i .
Ainsi,B est une base de E adaptée à F
si et seulement s’il existe une base B 1
de F et une base B 2 d’un
supplémentaire de F dans E, telles
que B = B 1 ∪ B 2 ,réunion ordonnée.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 1.1.1 à 1.1.3.
Exercice-type résolu
Dimension et somme directe
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, (E i ) i∈I une famille finie de sous-espaces vectoriels de E. Montrer que les
deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) la somme
i∈I
E i est directe
(2) dim
i∈I
E i
=
i∈I
dim (E i ).
Conseils
Cf. § 1.1.2 Prop. 2 p. 6.
Solution
(1) ⇒ (2) :
C'est un résultat du Cours.
(2) ⇒ (1) :
On suppose : dim
i∈I
E i
=
i∈I
dim (E i ).
Soit (x i ) i∈I ∈
i∈I
E i tel que :
i∈I
x i = 0.