1.1 • Espaces vectoriels
7
Proposition 3
Soient E un K-ev de dimension finie et (E i ) i∈I une famille finie de sev de E telle
que la somme
i∈I
E i soit directe. On a alors :
E =
i∈I
E i ⇐⇒ dim (E) =
i∈I
dim (E i ).
Preuve
• Si E =
i∈I
E i , alors, d'après la Proposition 2 précédente :
dim (E) = dim
i∈I
E i
=
i∈I
dim (E i ).
• Réciproquement, supposons dim (E) =
i∈I
dim (E i ). Alors, d'après la Proposition précédente :
dim
i∈I
E i
=
i∈I
dim (E i ) = dim (E).
Comme
i∈I
E i est un sev de E de même dimension que E, on conclut
i∈I
E i = E.
᭿
Définition 4
Soit (E i ) i∈I une famille finie de sev de E telle que E =
i∈I
E i . Pour tout x ∈ E, il
existe (x i ) i∈I ∈
i∈I
E i unique tel que x =
i∈I
x i ; on note p i : E −→ E
x −→x i
, pour tout
i ∈ I.
On a alors :
• ∀i ∈ I, p i ◦ p i = p i
• ∀(i, j) ∈ I
2
,
i = j ⇒ p i ◦ p j = 0
•
i∈I
p i = Id E .
On dit que ( p i ) i∈I est la famille de projecteurs de E canoniquement associée à la
décomposition de E en somme directe E =
i∈I
E i .
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition 4
Soient (E i ) i∈I une famille finie de sev de E telle que E =
i∈I
E i , et F un K-ev.
Pour toute famille (u i ) i∈I telle que :
∀i ∈ I, u i ∈ L(E i ,F) ,
il existe u ∈ L(E,F) unique telle que :
∀i ∈ I, u i = u | E i
où u | E i désigne la restriction de u à E i pour le départ.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 6.4 2) Cor. 2.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Ces trois propriétés sont immédiates.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier